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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + \ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线斜率为1，求该切线的方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \cos C - \frac{1}{2} c = b$ ．

(1)、求A；

(2)、点D在线段BC上， $A D ⊥ A C$ ， $\frac{B D}{C D} = \frac{1}{4}$ ，求 $\tan ∠ A C B$ 的值．

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3、已知曲线 $f (x) = e^{2 x} - 2 e^{x} + a x - 1$ 存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为.

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6})$ 的图象的一条对称轴为 $x = π$ ，其中 $ω$ 为常数，且 $ω \in (0, 1)$ ，则以下结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $3π$ B、 $f (\frac{3}{4} π) = \sqrt{3}$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 所得图象关于原点对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 100 π)$ 上有67个零点

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f (1) = 1 + e$ ，当 $x_{2} > x_{1} > 0$ 时，有 $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}$ ，则不等式 $f (\ln x) > x + \ln x$ 的解集为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(1, e)$ D、 $(0, e)$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} - e, x < 1 \\ \ln (2 x - 1), x \geq 1 \end{cases}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (a x) < f (a x^{2} + 1)$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, - 1) \cup (- 1, 4)$ B、 $(- 1, 2) \cup (2, 4)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $[0, 4)$

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7、曲线 $y = \sin (x + 1)$ 与 $y = \lg x$ 交点个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、已知某圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π$ ，该圆锥侧面的展开图是弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 1$ ， $S_{8} = 4$ ，则 $a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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10、若复数 $z$ 满足 $(4 + 2 i) z = {(3 - i)}^{2}$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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11、若点 $(a, b)$ 在圆 $M : x^{2} + y^{2} = 2$ 外，则直线 $a x + b y = 2$ 与圆 $M$ 的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相离

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12、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且仅有 $4$ 个零点，直线 $x = \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - \cos^{2} ω x (ω > 0)$

(1)、化简 $y = f (x)$ 的表达式.

(2)、若 $y = f (x)$ 的最小正周期为π，求 $y = f (x)$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ 的单调区间与值域.

(3)、将（2）中的函数 $f (x)$ 图像上所有的点向右平移 $φ (φ \in [0, \frac{π}{2}])$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ ，且 $y = g (x)$ 图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数 $y = g (λ x)$ ， $x \in [a, a + \frac{π}{3}]$ 与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数 $λ$ 的取值范围.

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14、如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 6$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，求AC；

(2)、在（1）的条件下，若 $A D = \sqrt{26}$ ，求 $cos 2 D$ ．

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15、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的外接圆的半径为R，且 $2 R - b = 2 b \sin B$ ，且 $0 < B < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 3$ ，求 $\sin C$ ．

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16、如图，一个圆锥的底面半径 $R = 3 cm$ ，高 $H = 4 cm$ ，在其内部有一个高为 $x cm$ 的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．

(1)、求圆锥的侧面积；

(2)、当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．

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17、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = 1$ ， $(\overset{⃑}{a} - 3 \overset{⃑}{b}) \cdot (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) = 3$

(1)、求 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 的夹角.

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18、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2,$ $O$ 为 $B C$ 中点， $E, F$ 分别是线段 $A B, A C$ 上的动点，且 $∠ E O F = 150^{\circ}$ ，当 $E F / / B C$ 时，则 $E F^{2}$ 的值为.

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19、“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为 $1$ 的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为．

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20、已知向量 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (- 1, 5), \vec{c} = (2, 3)$ ，若 $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $t \vec{c} + \vec{b}$ 共线，则实数 $t =$ .

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