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相关试卷

1、已知点 $P_{1} (t + 1, t)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4 \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}, y_{n}$ ；

(3)、求 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积．

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2、足球比赛积分规则为：球队胜一场积 $3$ 分，平一场积 $1$ 分，负一场积 $0$ 分．常州龙城足球队 $2024$ 年 $10$ 月将迎来主场与 $A$ 队和客场与 $B$ 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 $A$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{6}$ ；客场与 $B$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且两场比赛结果相互独立．

(1)、求常州龙城队 $10$ 月主场与 $A$ 队比赛获得积分超过客场与 $B$ 队比赛获得积分的概率；

(2)、用 $X$ 表示常州龙城队 $10$ 月与 $A$ 队和 $B$ 队比赛获得积分之和，求 $X$ 的分布列与期望．

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{c^{2}}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} = \frac{\sin C}{\sin B}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 4$ ， $\sin B + \cos B = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{n + 2}{n} a_{n} + \cos n π, n 为奇数 \\ a_{n} + \cos n π, n 为偶数 \end{array}$ ，则数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前2024项和为.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n} = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1}$ ，求 $S_{n}$ ．

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6、已知 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ ，求：

(1)、 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x) - 3 \geq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的范围．

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7、已知点 $P (3 m, - m)$ $(m \neq 0)$ 为角 $α$ 终边上一点.

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ 的值；

(3)、求 $2 \sin^{2} α - \sin α \cos α - 3 \cos^{2} α$ 的值.

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8、已知集合 $A = \{x |2 x \leq 3 x + 1 \leq 2 x + 4\}$ ， $B = \{x |m + 1 \leq x - m \leq 2\}$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，若实数 $m$ 的取值范围.

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9、某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 %$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是年（参考数据： $lg 1.12 = 0.05$ ， $lg 1.3 = 0.11, lg 2 = 0.30)$ .

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10、化简式子 $16^{- \frac{1}{4}} - \frac{1}{\sqrt{5} - 2} + \frac{\sqrt{20}}{2} + {(\frac{1}{3})}^{{log}_{3} 2} + {log}_{4} 27 \cdot {log}_{9} 8$ 的值为.

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11、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - 2 x + e^{2} + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为2 B、 $\exists x \in R$ ， $f (e) + f (x) = 4$ C、 $f (\lg 2) > f (\frac{8}{5})$ D、 $f (4^{\frac{4}{3}} - 1) < f (2^{\frac{9}{4}} - 1)$

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12、已知 $a > b > 0$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $a^{2} > a b > b^{2}$ B、若 $c \in R$ ．则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2 a + b}{a} > \frac{a + 2 b}{b}$

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13、下列说法正确的有（）

A、 $θ$ 为第三象限角的充要条件为 $\sin θ \tan θ < 0$ B、若 $θ$ 为第二象限角，则 $\frac{θ}{2}$ 为第一或第三象限角 C、 $1 - \sin (θ - 2 π) \sin (π + θ) - 2 \cos^{2} (\frac{π}{2} - θ) = \cos^{2} θ$ D、 $\sin (- 1071 °) \sin 99 ° + \sin (- 171 °) \sin (- 261 °) = 0$

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14、设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（ $\frac{π}{6}$ ）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　）

A、 $f (\frac{π}{3}) = 0$ B、点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上是增函数 D、存在直线经过点 $(a, b)$ 且与函数 $f (x)$ 的图象有无数多个交点

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (2 - a) x + 3 a, x < 1 \\ 2^{x^{2} + 2 x - 2} - 1, x \geq 1 \end{matrix}$ 的值域为R ，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $[- \frac{1}{2}, 2)$ D、 $(- \frac{1}{2}, 2)$

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16、已知函数 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (- 3) = 0$ ，则满足 $x f (x) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3, 0) \cup (0, 3]$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$ D、 $[- 3, 3]$

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17、若 $α \in [0, π]$ ，则“ $α = \frac{π}{9}$ ”是“ $sin 2 α = cos (α + \frac{π}{6})$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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18、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 4$ B、 $m = 4$ 或 $m = - 1$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 是偶函数

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19、函数 $f (x) = \ln (9^{x} + 3^{x} - a)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ 时， $g (x)$ 为定义域为 $R$ 的奇函数，且 $x > 0$ 时， $g (x) = e^{f (x)} - 9^{x}$ ，
①求 $g (x)$ 的解析式
②若关于x的方程 $\frac{g (x^{2} - 2 t x + 3)}{g (x)} = |g (x)|$ 恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.

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20、如图1，设半圆的半径为2，点 $B$ 、 $C$ 三等分半圆，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $O B$ 、 $O C$ 的中点，将此半圆以 $O A$ 为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：

(1)、求在圆锥中的线段 $M N$ 的长；

(2)、求四面体 $A C M N$ 的体积；

(3)、求三棱锥 $M - A B C$ 与三棱锥 $N - A B C$ 公共部分的体积．

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