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相关试卷

1、已知 $a > b > 0, c > d > 0$ ，则（）

A、 $a + d > b + c$ B、 $a - d > c - b$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a d > b c$

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2、已知 $\cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ ）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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3、下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = x - \frac{1}{x}$ D、 $y = 3^{x}$

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4、已知集合． $A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $B = \{0, 1, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{0, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$

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5、在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 2$ ，且弦 $A B = 2$ ，则扇形 $A O B$ 的面积为（）

A、 $\frac{2}{\sin 2}$ B、 $\frac{1}{{sin}^{2} 1}$ C、 $\frac{1}{2 \sin^{2} 2}$ D、 $2 \sin 1$

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6、如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B ∥ C D$ ，四边形 $A D E F$ 为平行四边形．

(1)、求证： $C E$ ∥平面 $A B F$ ；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $A D E F, A F ⊥ A D, A F = A D = C D = 1, A B = 2$ ，求：
（ⅰ）直线 $A B$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面 $B C F$ 的距离．

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7、在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）

A、理科男生多于文科女生 B、文科女生多于文科男生 C、理科女生多于文科男生 D、理科女生多于理科男生

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8、直线 $l_{1}$ ： $m x - y - 5 m + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x + m y - 5 m - 1 = 0$ 交于点P，圆C： ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 上有两动点A，B，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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9、（1）若 $\sin 3 x = \sin x (p \cos^{2} x + q)$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求 $p + q$ 的值；
（2）求 $f (x) = \frac{\sin 5 x}{\sin x}$ 的值域；
（3）正五棱锥的所有棱长均为 $2$ ，求此正五棱锥的表面积．

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $P D = P B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E为 $P A$ 中点， $A C$ 与 $B D$ 交点为O．

(1)、求证： $P C / /$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求证：平面 $E B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、若 $P A = P C$ ，求点C到平面 $A B E$ 的距离．

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{\cos B}{\cos C} + \frac{b}{c} = \frac{2 a}{c}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、设D是 $A B$ 上一点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D A}$ ， $|C D| = 1$ ，且 $2 \sin B = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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12、如图，边长为6的正 $△ A B C$ 中，点D在边 $A C$ 上，且 $|A D| = 2 |D C|$ ，点M在线段 $B D$ 上．

(1)、若 $\vec{B D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，求 $m + n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + 2 x \vec{A C}$ ，求x及 $\cos ∠ A M C$ 的值．

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x - \frac{1}{2}$ ，其中 $ω > 0$ ，且函数 $f (x)$ 的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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14、欧拉公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （i是虚数单位， $x \in R$ ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出 $|e^{i x} - 1|$ 的最大值为．

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15、 $△ A B C$ 的内心为P，外心为O，重心为G，若 $|A B| = |A C| = 5$ ， $|B C| = 6$ ，下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的内切圆半径为 $r = \frac{3}{2}$ B、 $6 \vec{P A} + 5 \vec{P B} + 5 \vec{P C} = \vec{0}$ C、 $6 \vec{O A} + 5 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ D、 $|O G| = \frac{11}{24}$

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16、下列命题正确的是（）

A、一个三棱锥被过三条侧棱的中点的平面所截，截得的两部分为一个三棱台和一个小三棱锥，则此三棱台与小三棱锥的体积比为7 B、圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径 $r = 8$ ，高 $h = 6$ ，则截面三角形面积的最大值为48 C、圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径 $r = 6$ ，高 $h = 8$ ，则截面三角形面积的最大值为48 D、若一个平行六面体被某平面所截，所得截面形状为四边形，则此四边形至少有一组对边互相平行

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17、设 $z, z_{1}, z_{2}$ 都是复数，i是虚数单位，则下列结论中一定成立的是（）

A、方程 $z^{2} - 3 z + 5 = 0$ 无复数解 B、若 $3 z - \bar{z} = 6 + 8 i$ ，则 $z = 3 + 2 i$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、 $z^{2} = {|z|}^{2}$

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18、四面体 $A B C D$ 中，若 $D A = D B = D C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{5 π}{6}$ ，则此四面体的外接球的表面积为（）

A、 $48 π$ B、 $16 π$ C、 $12 π$ D、 $4 π$

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19、八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A O}$ 的值为（）

A、14 B、12 C、10 D、8

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20、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $B D ⊥ B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、6 D、3

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