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相关试卷

1、椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、已知集合 $A = {x ∣ 1 < x < 5}, B = \{x ∣ x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 5}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 3}$ C、 ${x ∣ - 3 < x < 5}$ D、 ${x ∣ 1 < x < 2}$

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3、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x} (a \in R) ．$

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求a的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明： $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2});$

(3)、若 $a < 0$ ，记 $g (x) = k |x^{2} + 2 x|, h (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 1 & (x < 0) \\ 0 & (x = 0) \\ x^{2} - 1 & (x > 0) \end{matrix}$ ，函数
$y = f (g (x)) - f (h (x))$ 恰有3个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = \sin x \cos x \cos φ - \sin^{2} x \sin φ + \frac{1}{2} \sin φ (| φ | < \frac{π}{2})$

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 的图象，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、当 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，求 $φ$ 的值．

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5、如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系 $t O h$ ，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， $P O < 0$ ）（单位： cm）由关系式 $h = 2 \sin (\frac{π}{2} t + \frac{π}{3}) (t \geq 0)$ 确定．

(1)、点P 在开始运动（即 $t = 0$ ）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次?

(2)、在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(3)、当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在 $t_{0} s$ 时点 P 恰好被这束光第3次照到，求 $t_{0}$ 的值．

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6、（1）已知 $x > \frac{1}{2}$ ，求函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1} + 1$ 的最小值；
（2）若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，证明： $x \sqrt{x y} \geq 2 x y - y \sqrt{x y}$ .

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7、已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $f (x) = 2$ ，求 $x$ 的值；

(3)、 $\forall x \in [2, + \infty)$ ， $f (x) - a > 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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8、已知集合 $A = \{x - 4 < x < 1\}$ ， $B = \{x - 2 < x < 2\}$ ， $C = \{x a < x < a + 2\}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $C \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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9、如果对于非空集合 $A$ 中的任意两个不同元素 $a, b$ ，都有 $a + b \in A$ 且 $a b \in A$ ，那么这样的集合 $A$ 称为封闭集合，例如集合 $R$ 就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合.

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10、若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin^{2} α + 2 \cos^{2} α}{\sin 2 α} =$ .

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11、已知函数 $f (x) = a x^{3} - b x ，$ 且 $f (10) = 2024$ ，则 $f (- 10) =$ ．

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12、函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期为.

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13、下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 B、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (- x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x) = \frac{2}{3} x + 1; x \in R$ C、若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$ ，则 $f (x)$ 有4个零点 D、若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (2 - x) = - f (2 + x)$ ，则 $f (x)$ 是以8为周期的周期函数

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14、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x + 2 a & x \leq 0 \\ 2^{x} - 1 & x > 0 \end{matrix}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 3$ B、若 $f (- 1) = f (1)$ ，则 $a = 0$ C、若 $a > 0$ ，则 $f (x)$ 的值域为 $R$ D、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ，则 $a = - 1$

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15、下列式子化简后等于 $\sin α$ 的是（）

A、 $\frac{\sin (α + β) + \sin (α - β)}{2 \cos β}$ B、 $4 \sin \frac{α}{4} \cos \frac{α}{4} \cos \frac{α}{2}$ C、 $\frac{2 \tan \frac{α}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{α}{2}}$ D、 $\frac{1 - \cos 2 α}{\sin 2 α}$

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16、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{1}{2}$ C、 $f {(x)}_{\max} - f {(x)}_{\min} = 2$ D、 $x = \frac{π}{6}$ 为 $f (x)$ 的零点

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17、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下图所示，则它的解析式可以是（）

A、 $f (x) = \frac{s i n x}{2^{x} + 2^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{c o s x}{2^{x} + 2^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{x s i n x}{2^{x} + 2^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{x c o s x}{2^{x} + 2^{- x}}$

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18、若关于x的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ ，则
$\frac{c^{2} - b^{2} + 1}{2 a}$ （）

A、有最小值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、有最小值 $\sqrt{3}$ C、有最小值3 D、无最小值

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19、已知 $a = {log}_{2} \frac{1}{3}, b = {log}_{2} \frac{3}{5}, c = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{5}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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20、已知 $p : α = \frac{π}{4}$ ， $q : \sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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