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相关试卷

1、已知圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，点 $A$ 是圆 $C$ 上一动点，点 $B (3, 0)$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则动点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$

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2、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 4 x$

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = A P = 4, A D = 3$ ， $E, F$ 分别在棱 $P B, P D$ 上，且 $A E ⊥ P B, A F ⊥ P D$ .

(1)、求证： $P C ⊥ A E$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；

(3)、求三棱锥 $P - E D C$ 外接球的表面积.

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4、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ .

(1)、若 $P$ 的坐标为 $P (3, - 3)$ ，求过点 $P$ 与圆C相切的直线方程；

(2)、直线 $x - y + m = 0$ 与圆 $C$ 交于 $E, F$ 两点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的取值范围（ $O$ 为坐标原点）.

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5、2025年12月4日至8日，第四届南充国际木偶艺术周在南充隆重举行，某校特举办了木偶艺术相关知识测试.随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在 $[40, 100]$ ），将所得数据按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成6组，得到频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $a$ 的值，并求出测试成绩在 $[80, 100]$ 内的学生人数；

(2)、试估计本次测试成绩的 $60 %$ 分位数；

(3)、从测试成绩在 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享学习木偶艺术知识的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在 $[90, 100]$ 内的概率.

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6、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2, 3)$ ，边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $x + y - 3 = 0$ ，边 $A C$ 上的高线 $B H$ 所在直线方程为 $2 x - y - 2 = 0$ .求：

(1)、顶点 $C$ 的坐标；

(2)、直线 $B C$ 的方程.

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7、设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围

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8、函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}} + 1$ 与函数 $y = k (x - 2)$ 的图象仅有一个公共点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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9、已知直线 $l : x + (2 a - 1) y + a - 2 = 0$ ，当 $a$ 变化时，直线 $l$ 总是经过定点，则定点坐标为.

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10、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in[0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ 时， $V_{D_{1} - A_{1} B P} = V_{D_{1} - A_{1} C P}$ B、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{3}$ 时，平面 $A_{1} B P$ 截正方体所得的截面的面积为 $\frac{9}{2}$ C、若 $λ = \frac{1}{2}$ 且 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B B_{1}}$ ，则当 $P A + P E$ 取得最小值时， $μ = \frac{1}{4}$ D、若点P在以 $A_{1} B$ 的中点O为球心， $\sqrt{5}$ 为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 $2 π$

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11、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $2 < t < 3$ D、若曲线 $C$ 是双曲线，则焦距为 $2 \sqrt{2}$

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12、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、2 B、6 C、9 D、12

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13、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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14、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（　　）

A、0.02 B、0.08 C、0.18 D、0.72

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15、双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$ B、 $(0, \sqrt{3}), (0, - \sqrt{3})$ C、 $(3, 0), (- 3, 0)$ D、 $(0, 3), (0, - 3)$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F (1, 0)$ 为抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，A，B，C为E上三点，且F为 $△ A B C$ 的垂心.

(1)、若点A的纵坐标为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $B C$ 的斜率；

(2)、若 $|A F| = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、证明： $\vec{F A} \cdot \vec{F B}$ 为定值.

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17、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A E ⊥ C D$ ，垂足为E，且 $A B = A E = \frac{1}{3} C D = 1$ ，延长线段 $E D$ 至点P，使得 $E P = 2 \sqrt{2}$ .将 $△ A E P$ 沿 $A E$ 翻折至 $△ A E P^{'}$ 的位置，D到达 $D^{'}$ 的位置，使得 $P^{'} C = 2$ .

(1)、证明：平面 $P^{'} B C ⊥$ 平面 $P^{'} B E$ ；

(2)、求直线 $A D^{'}$ 与 $C P^{'}$ 所成角的大小；

(3)、求三棱锥 $A - P^{'} E C$ 与三棱锥 $B - P^{'} E C$ 所围成的公共部分的外接球的表面积.

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18、设函数 $f (x) = e^{x + a} + a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在大于0的零点，求a的取值范围；

(2)、设点 $(m, n)$ 在曲线 $y = f (x)$ 的任意一点的切线上，证明： $f (m) \geq n$ .

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为公差相同的等差数列，且 $a_{n} + b_{n} = 4 n$ ， $a_{1} = b_{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 为数列 $\{\frac{1}{a_{n} b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $2 S_{n} < 1$ .

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20、已知函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 和 $(\frac{π}{6}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 相邻的两个对称中心.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、探究在区间 $(-π, π)$ 上有几条平行于 $y$ 轴且被曲线 $y = f (x)$ 无限逼近的直线.

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