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相关试卷

1、已知球O是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球， $M N$ 为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（）

A、当P为 $B_{1} C_{1}$ 中点时，直线 $D C_{1}$ 与 $D_{1} P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、当三棱锥 $P - B_{1} C_{1} D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ 时，点P轨迹的长度为2 C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值为 $- 2$ D、 $\vec{M N} \cdot \vec{B C_{1}}$ 的最大值为 $4 \sqrt{6}$

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $c + b = 2 a \cos B$ .则下列说法正确的是（）

A、 $A = 2 B$ B、角B的范围是 $(0, \frac{π}{4})$ C、若 $∠ B A C$ 的平分线交BC于D， $A D = 2$ ， $sin B = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}$ D、 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a ln x + x$ （）

A、若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 6]$ B、若 $f (x)$ 在 $(0, 2]$ 上存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 6]$ C、当 $a = 2, f (x)$ 在区间 $[k - 1, k + 1]$ 上不单调，则实数 $k$ 的取值范围是 $(- 3, - 1) \cup (0, 2)$ D、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 2]$ ，则 $a = 6$ .

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4、已知函数 $f (x) = 3 (2 - m^{2}) x - m x^{3}$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则m的值为（）

A、 $- 2$ B、1 C、 $- 2$ 或1 D、 $- 1$ 或2

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5、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示， $C^{'} B^{'} ⊥ x^{'}$ 轴， $C^{'} D^{'} ∥ y^{'}$ 轴， $C^{'} B^{'} = \sqrt{2}, A^{'} B^{'} = 5$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的原图形的面积为（）

A、5 B、10 C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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6、已知锐角 $α$ ， $β$ 满足 $α + β = \frac{π}{4}$ ，则 $\frac{1}{\sin α \cos β} + \frac{1}{\cos α \sin β}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7、小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（）

A、31 B、63 C、127 D、128

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8、在 $△ A B C$ 中，点D为边BC上一点，且 $B D : D C = 1 : 2$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A D} =$ （）．

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, k)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 4$ D、4

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10、若集合 $A = \{x |x < 4\}, B = \{x |\frac{1}{x} \geq 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- \infty, 0] \cup (1, 4)$

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11、在平面直角坐标系中，若点 $P (x, y)$ 的横、纵坐标均为整数，则称 $P (x, y)$ 为格点，若曲线 $Γ$ 上存在3个格点构成三角形，则称 $Γ$ 为“3格曲线”.

(1)、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (1 < b < 2)$ 为“3格曲线”，求 $C$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 上存在 $n (n \geq 4)$ 个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为 $C$ 的左顶点的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ ；

(3)、若直线 $l : y = x + 2$ 上存在2个格点 $M, N$ ，使得 $|M K| + |N K| = 2$ ，其中 $K$ 为曲线 $D$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与 $y$ 轴正半轴的交点，求 $b$ 的值.

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12、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $S A D, A D ⊥ S D, A B = 1, B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, A D = S D = \sqrt{3}, ∠ B C D = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ B S$ .

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 夹角（锐角）的余弦值.

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13、围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操.某中学坚持开展围棋活动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有 $60$ 名男生， $50$ 名女生.为了解围棋社成员是否利用 $AI$ 学棋的情况，现采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取 $11$ 名成员调查分析.

(1)、求男生和女生各抽取多少人.

(2)、在抽取的 $11$ 人中，有 $2$ 名女生明确利用 $AI$ 学棋，现在从剩下的 $9$ 名成员中再依次随机抽取 $3$ 次，每次抽取 $1$ 人.
①在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率；
②设抽到的女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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14、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} a b sin C$ .

(1)、求 $cos C$ 的值；

(2)、若 $c = 5, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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15、设 $b_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则称 $\sqrt[n]{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}$ 为 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 这 $n$ 个数的几何平均数.若从等比数列 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{n}$ 中删除一个数 $2^{m} (1 \leq m \leq n - 1, m \in N^{*})$ ，剩下的 $n$ 个数的几何平均值为 $2^{35}$ ，则等比数列 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{n}$ 的各项之和为.

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16、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $P (100, - 50)$ 是 $C$ 上一点，则 $|P F| =$ .

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17、已知向量 $\vec{a} = (4, 3), |\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $\forall x, y \in R, f (x) f (y) = f (x y) + x^{2} y^{2} (x^{2} + y^{2})$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\sqrt{2}) = - 3$ C、 $f (x + \frac{1}{x}) > f (2 sin x)$ D、函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 的值域为 $[1, + \infty)$

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19、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 $N : {(x + m)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = m^{2}$ 相切，则 $m$ 的取值可以为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、3 D、4

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20、如图，在四面体 $P A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $P C, A B$ 的中点，且 $A C ⊥ B C, P C ⊥ D E, A B = 2$ ，则该四面体体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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