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相关试卷

1、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ， P，Q分别是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 上的点，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，则 $r = 4$ B、当 $r = 5$ 时，则两圆公共弦所在直线方程为 $3 x - 4 y - 1 = 0$ C、当 $r = 2$ 时，若直线 $P Q$ 的斜率存在，则 $P Q$ 斜率的最大值为 $- \frac{7}{24}$ D、当 $r = 3$ 时，过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 两条切线，切点分别为A，B，则存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$

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2、已知椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， P为椭圆 $C$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、过点 $F_{1}$ 且斜率不为0的直线与椭圆 $C$ 交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ ，使得 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为2 C、椭圆 $C$ 上存在4个不同的点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$

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3、下列说法正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，点 $A (1, 2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(1, - 2, - 3)$ B、在空间直角坐标系中， $\vec{n} = (1, 0, 0)$ 是坐标平面 $O x y$ 的一个法向量 C、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a}, \vec{b} - \vec{a}, \vec{a} - \vec{c}}$ 也是空间一组基底 D、以 $A (4, 1, 9)$ ， $B (10, - 1, 6)$ ， $C (2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等边三角形

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4、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $Q$ 在直线 $l : x = a$ 上运动.若 $tan ∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、若直线 $a x + b y - 10 = 0$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y = 0$ 相切于点 $(4, 2)$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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6、已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，一个焦点为 $F (3, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A、B两点.若 $A B$ 的中点为 $(1, - 1)$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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7、已知直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ 和 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 4)$ 两点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ 使得 $|P A| + |P B|$ 最小，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(0, - 4)$ D、 $(2, - 3)$

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8、已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足条件sin $α$ ＋cos $α$ ＝ $\frac{1}{5}$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9、已知正三棱台的体积为 $7 \sqrt{3}$ ，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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10、若圆的一条直径的两个端点坐标是 $A (4, 9), B (6, 3)$ ，则圆的方程为（）

A、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 10$ C、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 40$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 40$

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11、若复数 $z$ 满足 $(1 - z) i = 1 + z$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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12、某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含 $3$ 道传统文化题和 $2$ 道数学历史题的题袋中随机抽取 $2$ 道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.

(1)、求甲抽到的 $2$ 道题中恰好是 $1$ 道传统文化题和 $1$ 道数学历史题的概率；

(2)、若甲答对每道题的概率均为 $0.8$ ，乙答对每道题的概率均为 $0.7$ ，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于 $3$ 道的概率.

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13、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率是 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，焦距为6.

(1)、求双曲线 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + 1$ 与双曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 9$ （ $O$ 为坐标原点），求 $k$ 的值.

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14、已知 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + a c, b = 2 \sqrt{3}$

(1)、求 $R$ 的值；

(2)、求 $r$ 的取值范围.

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15、已知点 $A (- 1, 2), B (- 1, 0), C (1, 0)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若过点 $M (1, 3)$ 的直线 $l$ 被圆 $E$ 截得的弦长为 $2$ ，求直线 $l$ 的方程．

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ， $M$ 是椭圆上一点，且满足 $\vec{F_{1} M} ⊥ \vec{F_{2} M}$ ，则椭圆的离心率 $e$ 的取值范围为．

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17、直线 $m x + n y - 1 = 0$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）截圆 $x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 y = 0$ 的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为.

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18、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，若 $A (2, 0, 2), B (2, 1, 0), C (0, 4, - 1)$ ， $M (0, m, - 5)$ 四点共面，则 $m =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、点 $(\frac{5π}{6}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、直线 $x = - \frac{π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 图象可以由函数 $y = 2 cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ， $\vec{P E} = \vec{E D}$ ，则（）

A、 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{A P} - \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $|\vec{B E}| = 6$ C、异面直线 $B E$ 与 $P A$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $E$ 到平面 $B A C$ 的距离为1

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