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相关试卷

1、已知a，b为非零实数，且 $a > b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{1}{a b^{2}} > \frac{1}{a^{2} b}$ D、 $\frac{b^{2}}{a} < \frac{a^{2}}{b}$

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2、已知 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x + 2$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 6 x + 3$ B、 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ C、 $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ D、 $f (x) = x^{2} - 6 x + 10$

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3、下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = | x |, y = \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = x, y = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $y = 1, y = x^{0}$ D、 $y = | x |, y = {(\sqrt{x})}^{2}$

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4、下列各组对象可以构成集合的是（）

A、某中学所有成绩优秀的学生 B、边长为2的正方形 C、比较大的数字 D、著名的数学家

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5、近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份x
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车购买数量>（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80

(1)、计算 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ （保留三位小数）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量．
参考公式 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数值： $\sqrt{13} \approx 3.6056$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 3.6$ ．

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6、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $\frac{S_{9}}{9} =$ ．

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7、已知圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，直线l： $m x + y - 2 m - 3 = 0$ ．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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8、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 1)$ 在椭圆 $C$ 上，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点， $S_{△ A D E} = \frac{18 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程．

(3)、若过椭圆上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ，利用上述结论，设 $d$ 是从椭圆中心到椭圆在点 $Q$ 处切线的距离，当 $Q$ 在椭圆上运动时，判断 $d^{2} |Q F_{1}| |Q F_{2}|$ 是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．

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9、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D、E分别是 $A A_{1}$ 、 $B C$ 的中点， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $∠ B C A = 90 °$ .

(1)、求证： $A E //$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求点E到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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10、已知直线 $l_{1}$ 经过点 $A (2, 3)$ ．

(1)、若 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + 2 y + 4 = 0$ 垂直，求 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若 $l_{1}$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l_{1}$ 的方程．

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11、已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一动点，Q是圆 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，点 $M (6, 4)$ ，则|PQ|－|PM|的最大值为.

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12、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为1，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{P M} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .则 $|\vec{P M}|$ 的最小值．

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13、 $\vec{a} = (2, x, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $|\vec{a}| =$ ．

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E$ ， $F$ 在四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所在的平面内，若 $|A E| = \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ D F$ ，则下述结论正确的是（）

A、二面角 $A_{1} - B D - A$ 的平面角的正切值为2 B、 $C F ⊥ A C_{1}$ C、点 $E$ 的轨迹是一个圆 D、直线 $D F$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、两圆的公切线有2条 B、 $A B$ 直线方程为 $2 x + y + 1 = 0$ C、 $|A B| = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、动点 $P (x, y)$ 在圆 $O_{1}$ 上，则 $x^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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16、已知F₁ ， F₂分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{5}$ C、椭圆C的焦距为6 D、椭圆C的离心率为 $\frac{4}{9}$

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17、设椭圆 $C$ 的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于点 $P$ ， $Q$ 若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $3 |P F_{1}| = 4 |Q F_{1}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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18、已知直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，过直线 $l$ 上的任意一点 $P$ 作圆 $O$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为A， $B$ ，则 $∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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19、已知点 $A (3, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (0, 5)$ ，圆 $M : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ，一条光线从 $A$ 点发出，经直线 $B C$ 反射到圆 $M$ 上的最短路程为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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20、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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年份x	2019	2020	2021	2022	2023
新能源汽车购买数量>（万辆）	0.40	0.70	1.10	1.50	1.80