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相关试卷

1、已知集合 $A = {x \in N | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {2, 4, 6}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ B、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 6}$

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2、某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）.

A、讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B、讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C、讲座前答卷得分的中位数是70 D、讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差

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3、“平面 $α$ 内有一条直线 $l$ ，则这条直线上的一点 $A$ 必在这个平面内”用符号语言表述是（）

A、 $\begin{array}{l} l \subset α \\ A \subset l \end{array}\} \Rightarrow A \subset α$ B、 $\begin{array}{l} l \subset α \\ A \in l \end{array}\} \Rightarrow A \in α$ C、 $\begin{array}{l} l \in α \\ A \subset l \end{array}\} \Rightarrow A \in α$ D、 $\begin{array}{l} l \in α \\ A \in l \end{array}\} \Rightarrow A \subset α$

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 4, 0, 1), \vec{b} = (2, \sqrt{3}, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{9}{16}$

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5、如图所示，某景区有 $M N, P Q$ 两条公路（ $M N, P Q$ 在同一平面内），在公路上有两个景点入口 $A, C,$ 游客服务中心在点 $B$ 处，已知 $B C = 1 km, ∠ A B C = 120^{°}, \cos ∠ B A C = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ， $\cos ∠ A C Q = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

(1)、已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则 $A$ 处的工作人员与 $C$ 处的工作人员能否用对讲机正常通话?

(2)、已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站 $D$ ，且要求在志愿服务驿站 $D$ 接收景点入口 $A$ 处对讲机的信号最强.若选址 $D$ 使 $C D = 2 km$ ，请判断该选址是否符合要求?

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6、已知 $10^{a} = 2, 10^{b} = 5$ ，则 $a + b =$ .

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7、设无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ .若 $a_{1} < 0$ ，则“ $T_{n}$ 有最大值”是“公差 $d \geq 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (- 1, y)$ ，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = 2$ C、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$

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9、已知集合 $A = \{x |x \leq 0$ 或 $x > 1\}$ ， $B = \{- 2, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{- 2, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 1, 2\}$

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10、已知有限数列 $\{a_{n}\}$ ，从数列 $\{a_{n}\}$ 中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、 $\dots$ 、第 $i_{m}$ 项（ $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}$ ），顺次排列构成数列 $\{b_{k}\}$ ，其中 $b_{k} = a_{i_{k}}$ ， $1 \leq k \leq m$ ，则称新数列 $\{b_{k}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的长度为m的子列．规定：数列 $\{a_{n}\}$ 的任意一项都是 $\{a_{n}\}$ 的长度为1的子列，若数列 $\{a_{n}\}$ 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为完全数列．设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n$ ， $1 \leq n \leq 25, n \in N^{*}$ ．

(1)、判断下面数列 $\{a_{n}\}$ 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 的子列 $\{b_{k}\}$ 长度为m，且 $\{b_{k}\}$ 为完全数列，证明：m的最大值为6；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 的子列 $\{b_{k}\}$ 长度 $m = 5$ ，且 $\{b_{k}\}$ 为完全数列，求 $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \frac{1}{b_{4}} + \frac{1}{b_{5}}$ 的最大值．

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11、已知 $f (x) = (2 x - 1) e^{a x} - x$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $x + y + b = 0$ ．

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 仅有一个极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < - \frac{3}{4}$ ．

(3)、若 $g (x) = (k x - 1) e^{k x} - x$ ，是否存在 $k$ 使得 $g (x) \geq - 1$ 恒成立，存在请求出 $k$ 的取值范围，不存在请说明理由．

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12、已知函数 $f (x) = x^{a} \ln x$ ，其中a为常数且 $a \neq 0$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = 1$ 时，若在点 $M (x_{0}, f (x_{0})) (x_{0} > \frac{1}{e})$ 处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记 $△ A O B$ 的面积为S，求S的最小值.

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = A B_{1} = 2, A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C_{1} ⊥$ $A C$ ， $D, E$ 分别是 $A C ， B_{1} C_{1}$ 的中点.
（Ⅰ）证明： $A C ⊥ B_{1} C_{1}$ ；
（Ⅱ）证明： $D E / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；
（Ⅲ）求 $D E$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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14、若△ $A B C$ 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：

(1)、求边 $a$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 的面积.
条件①： $a \cos A = b \sin A$ ；
条件②： $b = a + 2$ ；
条件③： $\sin C = \frac{1}{2}$ ；
条件④： $c^{2} \cdot \cos C = - 10 \sqrt{3} - 12$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

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15、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 sin x cos x - {cos}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求不等式 $f (x) \geq - 1$ 的解集；

(3)、从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求 $m$ 的取值范围.
① $f (x)$ 在 $(0, m)$ 有恰有两个极值点；
② $f (x)$ 在 $(0, m)$ 单调递减；
③ $f (x)$ 在 $(0, m)$ 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = S_{n}^{2} + 1, (n \in N^{*})$ ，给出下列四个结论：①长度分别为 $1, a_{n + 1}, S_{n}$ 的三条线段可以构成一个直角三角形：② $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq 2^{n - 1}$ ；③ $\forall n \in N^{*}, a_{n} + a_{n + 2} < 2 a_{n + 1}$ ；④ $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} = 2 a_{n} \cos \frac{π}{2^{n + 1}}$ .其中所有正确结论的序号是.

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17、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x - 2} + a, x \geq 2 \\ |a^{x} - 2|, x < 2 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．给出下列四个结论：
①当 $a = 2$ 时，存在 $t$ ，方程 $f (x) = t$ 有唯一解；
②当 $a \in (0, 1)$ 时，存在 $t$ ，方程 $f (x) = t$ 有三个解；
③对任意实数 $a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ；
④存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增；
其中所有正确结论的序号是．

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18、已知角 $x$ 在第二象限，且 $sin (x + \frac{π}{2}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $\tan 2 x$ =.

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19、复数 $\frac{2 + i}{1 - 2 i} =$ ；对应的点坐标为；虚部是；模长为=.；共轭复数是.

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20、2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 $7 m$ 的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图象，分别如曲线a，b所示. $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 $(0, r_{0}), (t_{1}, r_{1})$ 和 $(t_{2}, r_{0})$ ，曲线b经过 $(t_{2}, r_{2})$ .已知 $r_{1} t_{1} = r_{2} t_{2}, r_{1} = 4 m, t_{2} = 4 s$ ，并且从 $t = 0$ 时刻到 $t = t_{2}$ 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）

A、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{4} m / s$ B、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{2} m / s$ C、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{4} m / s$ D、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{2} m / s$

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