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相关试卷

1、法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的蒙日圆为 $C : x^{2} + y^{2} = \frac{4}{3} a^{2}$ ，过圆 $C$ 上的动点 $M$ 作椭圆 $E$ 的两条切线，交圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $P Q$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若点 $D$ 在椭圆 $E$ 上，将直线 $D A, D B$ 的斜率分别记为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{3}$ C、点 $M$ 到椭圆 $E$ 的左焦点的距离的最小值为 $\frac{(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) a}{3}$ D、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{4}{3} a^{2}$

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2、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5), B (0, - 2, - 2), C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l$ $∥$ $α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4), \vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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3、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ ， $A$ ， $B$ 都在椭圆 $E$ 上，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}$ ， $\vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ，且 $λ + μ \geq 4$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(0, \frac{1}{3}]$

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4、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点.过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当四边形 $P A M B$ 面积最小时，直线 $A B$ 的方程为（）.

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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5、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线经过点 $M (4, 3)$ ，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形，且 $A B = 2$ ， $P A ⊥ P B$ .四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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7、设 $O$ 为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若直线 $l$ 为 $C$ 的准线，则（）

A、 $p = 4$ B、 $|M N| = \frac{16}{3}$ C、以 $M N$ 为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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8、若函数 $f (x)$ 的定义域与值域均为 $[m, n]$ ，则称 $f (x)$ 为“闭区间同域函数”，称 $[m, n]$ 为 $f (x)$ 的“同域闭区间”．

(1)、判断定义在 $[1, 2]$ 上的函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ 是否是“闭区间同域函数”，并说明理由；

(2)、若 $[2, 4]$ 是“闭区间同域函数” $g (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的“同域闭区间”，求 $a$ ， $b$ ；

(3)、若 $[m, n]$ 是“闭区间同域函数” $h (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 的“同域闭区间”，求 $m$ ， $n$ ．

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9、某城市出租车的计费标准如下：乘客上车后，行驶 $3km$ 内（包括 $3km$ ）收费都是10元；超过 $3km$ 但不超过 $15km$ 的部分，按照2元/ $km$ 收费；超过 $15km$ 的部分，按照3元/ $km$ 收费．

(1)、求乘客付费金额y（单位：元）与行驶路程x（单位： $km$ ）之间的函数关系式，其中 $x > 0$ ．

(2)、若甲乘坐出租车前往 $20km$ 的A地，当出租车行驶了 $15km$ 后，甲是继续乘坐这辆出租车，还是中途换乘一辆出租车到达A地的付款金额更少？并说明理由．

(3)、若乙乘坐出租车需要行驶的路程为x（单位： $km$ ），且 $15 < x < 30$ ，请以付款金额为标准，判断乙是否需要在行驶 $15km$ 后换乘．

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10、已知函数 $f (x) = \ln (x + 8) - \ln (- x + 8)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并予以证明；

(3)、求不等式 $f (x) > \ln 2$ 的解集．

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11、已知集合 $A = {x ∣ x - 2 \geq 0}, B = \{x ∣ x^{2} - 5 x - 6 > 0\}, C = {x ∣ m \leq x \leq 2 m - 1}, P = A \cup (∁_{R} B), Q = A \cap (∁_{R} B)$ ．

(1)、求P，Q；

(2)、若 $Q \cap C = \emptyset$ ，求m的取值范围．

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12、

(1)、若 $\frac{{(\sqrt{m})}^{3}}{m^{\frac{7}{2}}} = m^{α}$ ，求 $α$ 的值；

(2)、计算： $5^{2 \log_{5} 3} + \log_{6} 2 + \log_{6} 18 + \ln e$ ．

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13、函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |2^{x} - 1| - a, x \leq 2, \\ x^{2} - 6 x + 11 - a, x > 2 \end{matrix}$ 的零点最多有个，此时 $a$ 的取值范围为．

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14、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 3}$ ，则关于 $x$ 不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为.

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15、集合 $A = \{x \in N ∣ x^{2} \leq 2\}$ 的子集个数为．

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16、已知函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线， $f (x)$ 的定义域为 $[a, b], \forall x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，下列选项可判断 $f (x)$ 为单调函数的是（）

A、 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ B、 $x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1}) < x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2})$ C、 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 1$ D、 $f (x) = \min {f (a), f (b)}$

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17、已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x^{2} + 3 x + 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 是增函数 C、存在实数a，使得 $f (x)$ 为偶函数 D、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则a的取值范围为 $[0, \frac{9}{8}]$

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18、若a，b，c均为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $0 < a < b$ ，且 $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$

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19、猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．猪血木不仅实现了人工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过 $n (n \in N^{*})$ 年，则 $n =$ （）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3, \lg 11 \approx 1.04$ ）

A、9 B、8 C、7 D、6

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20、已知函数 $y = a^{x - 3} - \frac{2}{3} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $P$ .若点 $P$ 在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则幂函数 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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