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相关试卷

1、已知棱长为3的正四面体 $A - B C D, \vec{A E} = λ \vec{A D}, \vec{B F} = μ \vec{B C}, \vec{E M} = \frac{1}{2} \vec{E F}, λ ， μ \in [0, 1]$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{E F} \cdot \vec{B C} = 0$ B、当 $μ < \frac{1}{2}$ 时， $|\vec{E F}| < \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、当 $|\vec{E F}| = \sqrt{5}$ 时， $λ + μ$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ D、当 $|\vec{E F}| = \sqrt{5}$ 时，则 ${|\vec{A M}|}^{2}$ 的最大值为 $\frac{14 + 3 \sqrt{2}}{4}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 20$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 4$ ， $(n \in N^{*})$ ，则（）

A、4是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 B、当 $S_{n}$ 最大时， $n$ 的值只能取5 C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 D、 $S_{5} = S_{7}$

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3、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{2 + a_{n}}$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} (2 n + 1) a_{n} a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $- \frac{400}{101}$ B、 $\frac{400}{101}$ C、 $\frac{408}{101}$ D、 $- \frac{408}{101}$

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4、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为BC的中点，点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，则 $△ D_{1} E P$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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5、若直线 $k x - y - 2 = 0$ 与曲线 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = x - 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3} ， 2$ ] B、 $(\frac{4}{3} ， 4]$ C、 $[- 2 ， - \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3} ， 2]$ D、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$

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6、以椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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7、下列四个命题，其中真命题是（）

A、点 $M (3, 2, 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是 $(- 3, 2, - 1)$ B、若直线 $a$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (1, 1, 1)$ ，则 $a ⊥ α$ C、若 $\vec{A B} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{A C} = (- \frac{1}{2}, 0, 1)$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为 $2$ D、向量 $\vec{a} = (1, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 1)$ 则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是 $(\frac{1}{3}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

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8、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C = P C = 4$ ， $P A = P B = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 是线段 $P C$ 上的点.

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $P M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $P M$ 的长；

(3)、若 $M Q ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为垂足，直线 $P Q$ 与平面 $A B M$ 的交点为 $N$ ，当三棱锥 $M - A B Q$ 体积最大时，求 $P N$ 的长.

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9、已知 $\cos (α + \frac{π}{2}) = 2 \cos (α + 3 π)$ ，则 $\cos^{2} α + \frac{1}{2} \sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、1

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10、下列与函数有关的命题中，正确的是（）

A、若 $f (4 x - 1) = x^{2} - 2 x - 1$ ，则 $f (3) = 2$ B、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(8, 2 \sqrt{2})$ ，则 $f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$ C、若奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有最小值4，则 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上有最大值-4 D、若偶函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 是减函数，则 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 是增函数

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11、某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车 $x$ 万台（ $0 \leq x \leq 10$ ）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为 $C (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 6 x + 4,0 \leq x \leq 3, \\ 24 x + \frac{144}{x} - 107,3 < x \leq 10 \end{matrix}$ （单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）

(1)、写出年利润 $S (x)$ （亿元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；

(3)、若该企业当年不亏本，求年产量 $x$ （万台）的取值范围．

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12、若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ．
（1）求 $f (x)$ 在R的解析式；
（2）若 $a \in R$ ， $g (x) = f (x) - a$ ，试讨论 $a$ 取何值时 $g (x)$ 有两个零点？a取何值时 $g (x)$ 有四个零点？

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13、计算：
（1） $\frac{6}{5} a^{\frac{1}{3}} b^{- 2} \cdot (- 3 a^{\frac{1}{2}} b^{- 1}) \div {(4 a^{\frac{2}{3}} b^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$
（2） $2 \log_{3} 2 - \log_{3} \frac{32}{9} + \log_{3} 8 - \log_{2} 9 \cdot \log_{3} 2$
（3）已知 $5^{a} = 3, 5^{b} = 4$ ，用a，b表示 $\log_{25} 36$ ．

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14、已知集合 $P = {x | 2 x^{2} - 3 x + 1 \leq 0}, Q = {x | (x - a) (x - a - 1) \leq 0} .$
（1）若 $a = 1$ ，求 $P \cap Q$ ；
（2）若 $x \in P$ 是 $x \in Q$ 的充分条件，求实数a的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x}, x \geq - 1 \\ \log_{2} (1 - x), x < - 1 \end{array}$ ，则 $f (0) - f (- 3) =$ .

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16、关于函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ ，正确的说法是（）

A、 $f (x)$ 有且仅有一个零点 B、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 1}$ C、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 2)$ 对称

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17、已知3是函数 $f (x) = \{\begin{cases} \ln (x - a) (x > 2) \\ e^{x} (x \leq 2) \end{cases}$ 的一个零点，则（）

A、 $a = 4$ B、 $a = 2$ C、 $f (6) = e^{2}$ D、 $f (f (6)) = 4$

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18、制作一个面积为1 $m^{2}$ 且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（）

A、4.6m B、4.8m C、5m D、5.2m

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19、函数 $f (x) = | x - 1 | - \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的部分图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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20、下面命题正确的是（）

A、已知 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充要条件 B、命题“ $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} < 2$ ”的否定是“ $\forall x < 1$ ， $x^{2} \geq 2$ ” C、已知 $x, y \in R$ ，则“ $|x| + |y| > 0$ ”是“ $x > 0$ ”的既不充分也不必要条件 D、已知 $a, b \in R$ ，则 $“ a - 3 b = 0 ”$ 是 “ $\frac{a}{b} = 3$ ”的必要不充分条件

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