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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $a_{2} = \frac{5}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ ， $b_{n + 1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 为常数列；

(2)、求证： $2 < a_{n + 1} < a_{n}$ ；

(3)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证：当 $n > 1$ 时， $S_{n} < 2 n + \frac{8}{3}$ .

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} + 2^{50}}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $b_{n} + b_{100 - n}$ 的值；

(3)、求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{99}$ 的值.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥ P C$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $E C D$ 夹角的余弦值.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且该数列满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ ， $a_{1} = - 2$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列，并写出其首项和公比；

(2)、若 $b_{n} = n (a_{n} + 3)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 1$ ， $a_{8} = 5$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列，并写出其首项与公差.

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6、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n - 8 (n \in N *)$ ，则 $a_{8} =$ ．

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7、下列说法正确的是（）

A、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，则其前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ B、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，若 $m + n = p + q$ （其中 $m, n, p, q \in N^{*}$ ），则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ C、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{n (2 n + 1)}$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n} < \frac{5}{6}$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = a_{1} + 2^{2} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} a_{n}$ ，则 $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = a_{1} - 4$ ， $S_{7} = 147$ ，则（）

A、 $a_{1} = 28$ B、 $a_{4} = 21$ C、使 $S_{n} > 0$ 成立的 $n$ 的最大值为 $28$ D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 14$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = \frac{1}{2}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} = \frac{1}{n}$

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10、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，定义 $A_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“加权和”．设数列 $\{a_{n}\}$ 的“加权和” $A_{n} = n \cdot 3^{n}$ ，记数列 $\{a_{n} + p n + 1\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq T_{5}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $p$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{16}{7}, - \frac{7}{3}]$ B、 $[- \frac{12}{5}, - \frac{7}{3}]$ C、 $[- \frac{5}{2}, - \frac{12}{5}]$ D、 $[- \frac{16}{7}, - \frac{9}{4}]$

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11、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 4 x$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 4 y$ ，则（）

A、过 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 焦点的直线方程为 $x + y = 4$ B、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 只有1个公共点 C、与x轴平行的直线与 $C_{1}$ 及 $C_{2}$ 最多有3个交点 D、不存在直线与 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 都相切

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12、中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 $700$ 里路，则该马第五天走的里程数约为（）

A、 $5.51$ B、 $11.02$ C、 $22.05$ D、 $44.09$

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1} a_{2} a_{3} = 2$ ， $a_{3} a_{4} a_{5} = 10$ ，则 $q^{6} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = \frac{5}{2}$ ，则 $S_{10}$ 为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{55}{2}$ D、 $\frac{85}{2}$

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15、已知数列1， $\sqrt{2}$ ， 2， $2 \sqrt{2}$ ， 4，…，根据该数列的规律，16是该数列的（）

A、第7项 B、第8项 C、第9项 D、第10项

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16、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ， $f (2) = 4$ ，则（）

A、 $f (4) = 8$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、当 $x < - 2$ 时， $f (x) - 2 > f (2 x + 1)$

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17、已知 $L \in N^{+}$ ，数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， … $a_{n}$ 中的项均为不大于 $L$ 的正整数. $c_{k}$ 表示 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， … $a_{n}$ 中 $k$ 的个数（ $k = 1 ， 2 \dots L$ ）.定义变换 $T$ ， $T$ 将数列 $A$ 变成数列 $T (A)$ ： $t (a_{1})$ ， $t (a_{2})$ ， … $t (a_{n})$ 其中 $t (k) = L \cdot \frac{c_{1} + c_{2} + \dots + c_{k}}{n}$ .
（1）若 $L = 4$ ，对数列 $A$ ： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 4$ ，写出 $c_{i} (1 \leq i \leq 4)$ 的值；
（2）已知对任意的 $k$ （ $k = 1 ， 2 \dots n$ ），存在 $A$ 中的项 $a_{m}$ ，使得 $a_{m} = k$ .求证： $t (a_{i}) = a_{i}$ （ $i = 1 ， 2 \dots n$ ）的充分必要条件为 $c_{i} = c_{j}$ （ $i, j = 1 ， 2 \dots L$ ）；
（3）若 $L = n$ ，对于数列 $A$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， … $a_{n}$ ，令 $T (T (A))$ ： $b_{1}, b_{2} \dots b_{n}$ ，求证： $b_{i} = t (a_{i})$ （ $i = 1 ， 2 \dots n$ ）.

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18、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} + a ln x$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记曲线 $y = f (x)$ 在 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ 两点处的切线斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，直线 $P Q$ 的斜率为 $k_{3}$ ，其中 $x_{1}, x_{2} \in (0, 1]$ ，求证：当 $a \geq - 1$ 时，有 $k_{1} + k_{2} > 2 k_{3}$ .

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19、某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：
轮次
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
第一次分数
7
6
8
9
8
5
9
7
10
7
第二次分数
8
7
9
10
8
9
8
7
7
9
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”.

(1)、若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；

(2)、假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记 $X$ 为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、假设选手乙参加 $n$ 轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记 $μ_{1}$ 为各轮较高分的算数平均值， $μ_{2}$ 为各轮较低分的算数平均值， $μ_{3}$ 为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较 $\sqrt{μ_{1} μ_{2}}$ 与 $μ_{3}$ 的大小（结论不要求证明）.

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20、为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示.在公园内部计划修建景观道路 $C D$ （道路的宽度忽略不计)，已知 $C D$ 把三角形空地分成两个区域， $△ A C D$ 区域为儿童娱乐区， $△ B C D$ 区域为休闲健身区.经测量， $A C = B C = 100$ 米， $A B = 100 \sqrt{3}$ 米.若儿童娱乐区每平方米的造价为 $100$ 元，休闲健身区每平方米的造价为 $50$ 元，景观道路每米的造价为 $2500$ 元.

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{4}$ ，求景观道路 $C D$ 的长度；

(2)、求 $∠ A D C$ 为何值时，口袋公园的造价最低？

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轮次	一	二	三	四	五	六	七	八	九	十
第一次分数	7	6	8	9	8	5	9	7	10	7
第二次分数	8	7	9	10	8	9	8	7	7	9