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相关试卷

1、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A A_{1} = 2 A B$ ， $∠ D A B = 60 °$ .

(1)、证明： $A_{1} C$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 的交点 $O$ 为 $△ A B_{1} D_{1}$ 的重心；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值.
条件①： $B D ⊥ A_{1} C$ ；
条件②：面 $A B_{1} D_{1}$ 与面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

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2、如图为几何体 $Ω$ 的一个表面展开图，其中 $Ω$ 的各面都是边长为 $1$ 的等边三角形，将 $Ω$ 放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在 $Ω$ 中，异面直线 $A B$ 与 $D E$ 的距离为.

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3、已知 $F$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点， $A$ 是 $C$ 的右顶点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点 $M$ ，连接 $F M$ 交另一条渐近线于点 $N$ .若 $2 \vec{F N} = \vec{F M}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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4、害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数 $y$ （单位：个）与温度 $x$ （单位： $^{\circ} C$ ）有关，测得一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 20)$ ，可用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x}$ 进行拟合，利用 $z = ln y$ 变换得到的线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + \hat{a}$ .若 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 600, \sum_{i = 1}^{20} \ln y_{i} = 120$ ，则 $c_{1}$ 的值为.

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ ，圆 $E : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $y = k (x - 1)$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，与 $E$ 交于 $M, N$ 两点 $(A, M$ 在第一象限）， $O$ 为坐标原点，则下列说法中正确的是（）

A、 $p = 1$ B、 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} > \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ C、若 $|A B| = 4 |M N|$ ，则 $k = 1$ D、 $\forall k, |A M| \cdot |B N|$ 为定值

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6、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $l \subset$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，直线 $m \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，直线 $n \subset$ 平面 $A B C D$ ，则直线 $l, m, n$ 的位置关系可能是（）

A、 $l, m, n$ 两两垂直 B、 $l, m, n$ 两两平行 C、 $l, m, n$ 两两相交 D、 $l, m, n$ 两两异面

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7、已知 $cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}, sin (\frac{5 π}{4} + β) = - \frac{12}{13} ，$ 其中 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}), β \in (0, \frac{π}{4}) ，$ 则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $- \frac{56}{63}$ B、 $\frac{56}{63}$ C、 $- 17$ D、 $17$

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8、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 1, x \leq 0 \\ \sqrt{x} - 1, x > 0 \end{cases}$ ，则方程 $f (f (x)) = 0$ 的实根个数为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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9、北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为 $3$ ， $4$ ，高为 $3$ ，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）

A、 $21 π, 37 π$ B、 $21 π, 111 π$ C、 $7 \sqrt{10} π, 37 π$ D、 $7 \sqrt{10} π, 111 π$

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10、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且公差不为 $0$ ，若 $a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ 构成等比数列， $S_{11} = 66$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, k), \vec{b} = (2, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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12、已知复数z满足 $(1 - z) i = 2$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $2 i$ D、2

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13、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}, A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $U$ B、 $\{1, 2, 4, 5\}$ C、 $\{3\}$ D、 $\emptyset$

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14、某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ ；写出{ $a_{n}$ }的递推公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - 800$ ，证明数列{ $b_{n}$ }为等比数列；

(3)、求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取 $lg 2 = 0.3$ ）.

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15、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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16、等差数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数， $a_{1} = 3$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} S_{2} = 64, b_{3} S_{3} = 960$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ ．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ $b_{n + 1} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ 若 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ .

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 4, a_{3} + a_{6} + a_{9} =$ .

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20、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $0 < a_{1} < 1$ ， $a_{8} a_{9} > 1$ ， $a_{8} a_{9} + 1 < a_{8} + a_{9}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $q > 1$ B、 $a_{8} a_{10} < 1$ C、 $T_{17} > 1$ D、 $T_{n}$ 的最小值为 $T_{9}$

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