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相关试卷

1、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $T_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$ ，给出下列四个结论：
①若 $a_{n} = n$ ，则 $T_{2025} = 1013$ ；
②若 $T_{n} = n$ ，则 $a_{2025} = - 1$ ；
③若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $|T_{n}| < M$ ，则有 $|a_{n + 1} - a_{n}| < 2 M$ ；
④存在各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$ ，使得 $|T_{n}| > |T_{n + 1}|$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立．
其中所有正确结论的序号是．

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2、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x + a, x \leq 1 \\ - a {(x - 2)}^{2} + 1, x > 1 \end{array}$ ，若 $a = 2$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间是；若 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, + \infty)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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3、设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为.

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4、已知双曲线 $C : 4 x^{2} - y^{2} = 4$ ，则C的焦点到其渐近线的距离为．

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点Q是棱 $D D_{1}$ 上的动点，下列说法中错误的是（）．
①存在点Q，使得 $C_{1} Q ∥ A_{1} C$ ；
②存在点Q，使得 $C_{1} Q ⊥ A_{1} C$ ；
③对于任意点Q，Q到 $A_{1} C$ 的距离为定值；
④存在点Q， $△ A_{1} C Q$ 是锐角三角形．

A、①③ B、②③ C、②④ D、①③④

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6、在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 1, ∠ C = 90 °$ ． P为 $A B$ 边上的动点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{4}, 1]$ B、 $[- \frac{1}{8}, 1]$ C、 $[- \frac{1}{4}, 2]$ D、 $[- \frac{1}{8}, 2]$

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7、在 $△ A B C$ 中，“ $△ A B C$ 为直角三角形”是“对于任意 $t \neq 1$ ， $|\vec{B A} - t \vec{B C}| > |\vec{A C}|$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 3$ ， $a_{4} + a_{6} = - 10$ ．若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} (n = 1, 2, \dots)$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）．

A、 $- 32$ B、 $- 80$ C、 $- 140$ D、 $- 224$

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9、在 $△ A B C$ 中，若 $c = 4, b - a = 1, \cos C = - \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

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10、在 ${(x - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）．

A、 $- 8$ B、8 C、 $- 48$ D、48

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11、若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 a y + a^{2} = 0$ 截直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 所得弦长为2，则 $a =$ （）．

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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12、已知全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{x \in Z | x^{2} \leq 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）．

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, 2, 3\}$ C、 $\{- 2, 2, 3, 4\}$ D、 $\{- 2, 0, 3\}$

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13、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{2}, 0)$ ，四条直线 $x = \pm a$ ， $y = \pm b$ 所围成的区域面积为 $4 \sqrt{3}$ .
（1）求 $C$ 的方程；
（2）设过 $D (0, 3)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，若以弦 $A B$ 为直径的圆恰好经过原点 $O$ ，求直线 $l$ 的方程.

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14、已知斜率为1的直线l与双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 相交于B，D两点，且BD的中点为 $M (1, 3)$ ，则C的离心率是．

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15、直线 $x - y + 2 = 0$ 与圆： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，则弦 $A B$ 长为

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16、已知 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 上一动点，若直线 $l : 3 x - 4 y - 12 = 0$ 上存在两点 $A, B$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ 能成立，则线段 $A B$ 的长度的最小值是（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $\frac{22}{5}$ C、 $\frac{43}{5}$ D、 $\frac{98}{5}$

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17、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 $K_{P M}, K_{P N}$ ，当 $K_{P M} \cdot K_{P N} = - \frac{1}{4}$ 时，则椭圆方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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18、已知F₁ ， F₂是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3} ，$ 若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是 $6 \sqrt{3} ，$ 则 $b =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、2

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19、实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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20、如图所示，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在OA上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， N为BC中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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