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相关试卷

1、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A C = 2, B C = 2 \sqrt{3}, A B = A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C D B_{1}$ 所成角的正弦值.

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2、过椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ 上一动点P分别向圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为M，N，则 $| P M |^{2} + 2 | P N |^{2}$ 的最小值为．

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3、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴垂线交双曲线于 $A, B$ 两点， $△ F_{1} A B$ 为正三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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4、已知空间向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2, 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, x, - 3)$ ，若 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $| \overset{⃑}{b} | =$ （）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{26}$ D、 $\sqrt{74}$

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5、已知函数 $f (x) = 3^{x + 1} + m \cdot 3^{- x} - m$ 是定义在 $R$ 上的偶函数．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的结论；

(2)、求函数 $h (x) = f (x) - 2 ln (x + 2 m)$ 零点的个数；

(3)、设函数 $g (x) = x^{2} - a x + a^{2}$ ，对任意的 $x_{1} \in [- 1, 0]$ ，存在 $x_{2} \in [- 2, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq$ $g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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6、某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工 $x$ 万千克该食品，需另投入成本 $f (x)$ 万元，根据以往的经验可知 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 2 x, 0 < x \leq 6 \\ 12 x + \frac{200}{x} - 72, 6 < x \leq 20 \end{array}$ .已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完．

(1)、写出该食品加工厂加工这种食品的月利润 $y$ （单位：万元）关于月加工量 $x$ （单位：万千克）的函数关系式；

(2)、当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量 $x$ 的取值范围；

(3)、求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润）

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7、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 3) + {log}_{a} (6 - x) - 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的零点；

(3)、若 $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上的最大值与最小值之差为2，求 $a$ 的值．

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8、（1）计算： $64^{\frac{1}{3}} - {(π - 2)}^{0} + {(- 8)}^{- \frac{2}{3}} + 16^{- 0.75}$ ．
（2）已知 $2^{a} = 3^{b} = 18$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的值．

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9、若函数 $f (x)$ 满足 $y = f (x + a) - b$ 是奇函数，则我们称 $f (x)$ 是“基移奇函数”，点 $(a, b)$ 为“基移奇函数” $f (x)$ 的“基点”．已知函数 $f (x) = {(x + 2)}^{3} + 3 x$ 是“基移奇函数”，则 $f (x)$ 的“基点”坐标为．

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10、若幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3) x^{m + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ ．

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11、已知一次函数 $f (x)$ 满足 $f (f (x)) = 4 x - 21$ ，则 $f (x)$ 的解析式可能是（　　）

A、 $f (x) = 2 x - 7$ B、 $f (x) = 2 x + 7$ C、 $f (x) = - 2 x + 21$ D、 $f (x) = - 2 x - 21$

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12、“ $|a| > |b|$ ”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， M、N、P分别是 $B B_{1}$ 、 $B C$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} M ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求 $C_{1} M$ 与平面 $P M N$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $P$ 到平面 $A M N$ 的距离.

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14、如图所示，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D$ ．

(1)、求证： $C C_{1} ⊥ B D$ ；

(2)、当 $\frac{C D}{C C_{1}}$ 的值为多少时，能使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ？请给出证明．

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15、设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y + 1 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - 2 m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的最大值.

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16、经过两直线 $x + 3 y - 10 = 0$ 和 $3 x - y = 0$ 的交点，且和原点相距为1的直线方程为．

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17、设 $\overset{⃑}{e_{1}}, \overset{⃑}{e_{2}}$ 是空间两个不共线的向量，已知 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{e_{1}} + k \overset{⃑}{e_{2}}, \overset{⃑}{B C} = 5 \overset{⃑}{e_{1}} + 4 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{D C} = - \overset{⃑}{e_{1}} - 2 \overset{⃑}{e_{2}}$ ，且A，B，D三点共线，则实数k＝．

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18、如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 $A P = 3 P N$ ， $\vec{O N} = \frac{2}{3} \vec{O M}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\vec{A N} = \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\vec{A P} = - \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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19、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - x - \ln a$ ， $a > 0$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处切线的斜率；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极大值；

(3)、设 $g (x) = a e^{x} - x^{2}$ ，当 $a \in (1, e)$ 时，求函数 $g (x)$ 的零点个数．并说明理由．

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20、近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5

(1)、从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月 $MPV$ 零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；

(2)、从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中 $SUV$ 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望 $E X$ ；

(3)、记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为 $s_{1}^{2}$ ，同期各月轿车与对应的 $MPV$ 月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为 $s_{2}^{2}$ ，写出 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系．（结论不要求证明）

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	12月	1月	2月	3月	4月	5月
轿车	28.4	21.3	15.4	26.0	16.7	21.0
MPV	0.8	0.2	0.2	0.3	0.4	0.4
SUV	18.1	13.7	11.7	18.1	11.3	14.5