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相关试卷

1、如图，正四面体容器 $A B C D$ 的容积为 $V$ ，里面装了体积为 $\frac{3}{4} V$ 的水，固定容器底面一边 $C D$ 将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点 $B$ 且与棱 $A C, A D$ 分别交于点 $M, N$ ，则平面 $B M N$ 与平面 $B C D$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{33}}{33}$ D、 $\frac{5 \sqrt{33}}{33}$

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2、已知曲线 $y = e^{x - 1}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = \frac{a ln x}{x} (a > 0)$ 只有一个公共点，则 $a =$ （）

A、 $e^{2}$ B、 $2e$ C、 $\sqrt{e}$ D、1

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3、已知函数 $f (x) = cos(ω x + φ) (ω \in N^{*}, 0 < φ < \frac{π}{2}), f (0) = \frac{1}{2}$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有且只有一个零点，则 $f (\frac{π}{6}) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、已知函数 $f (x) = x |x| + x^{3}$ ，满足 $f (1 - a) + f (a^{2} - 3) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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5、已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (3, 3), \vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(1, 1)$ C、 $(3, 0)$ D、 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

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7、复数 $\frac{5}{2 i + 1}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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8、已知集合 $A = {x ∣ x$ 是不大于10的整数 $}, B = \{x ∣ x^{2} = x\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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9、已知函数 $f (x) = x - 2$ ， $g (x) = x^{2} - 2 m x + 4 (m \in R)$ ．

(1)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $g (x) > f (x)$ 恒成立，求m的取值范围；

(2)、设 $h (x) = g (x) + x^{2} - x + m - 4$ ，求关于x的不等式 $h (x) > 0$ 的解集；

(3)、若 $m = - 1$ ，对任意 $n \in R$ ，总存在 $x_{0} \in [- 2, 2]$ ，使得不等式 $|g (x_{0}) - x_{0}^{2} + n| \geq k$ 成立，求实数k的取值范围．

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10、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $f (x) = c x^{3} + d x^{2} + e x + f$ ，其中 $c, d, e, f \in R$ ．

(1)、证明：若函数 $y = f (x)$ 为奇函数，则实数 $d$ 和 $f$ 均为定值；

(2)、当 $c = 1$ ， $d = - 3$ ， $e = 3$ ， $f = 4$ 时，
（ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心；
（ⅱ）求 $f (100) + f (- 98)$ 的值．

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11、深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本 $C (x)$ 万元， $C (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 10 x, 0 < x < 20 \\ 25 x + \frac{900}{x} - 150, x \geq 20 \end{array}$ ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完．

(1)、写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式；

(2)、年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大．

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12、已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ ，且此函数图象过点 $(1, 5)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性？并证明你的结论.

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最小值和最大值.

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13、若函数 $f (x) = |x - a + 1|$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是．

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14、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{|x| - 5}$ 的定义域为．

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域是R ，若对任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ 成立，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则下列说法中正确的是（）．

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x)$ 是非奇非偶函数 C、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、 $f (x - 2) + f (x^{2} - 2 x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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16、下列说法中正确的是（）．

A、命题“ $\forall x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} < 0$ ” B、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 是同一个函数 C、函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x - 3) = 4 x - 7$ ，若 $f (a) = - 3$ ，则实数 $a = - 1$ D、若函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 4]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[2, 5]$

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17、（多选题）下列各式中，最小值为2的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ B、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ C、 $\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2$ D、 $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (- a - 5) x - 2, x \geq 2 \\ x^{2} + 2 (a - 1) x - 3 a, x < 2 \end{array}$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 4, - 1]$ B、 $[- 4, - 2]$ C、 $(- 5, - 1]$ D、 $[- 5, - 4]$

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19、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 $\{x |x \leq - 2$ 或 $x \geq 1\}$ ，则 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为（）．

A、 $\{x |x < - \frac{1}{2} 或 x > 1\}$ B、 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 1\}$ C、 $\{x |x < - 2$ 或 $x > 1\}$ D、 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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20、下列命题是真命题的是（）．

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ C、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $\frac{1}{a - c} > \frac{1}{b - d}$ D、若 $a > b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$

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