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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (1 + a) x + ln x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时， $f (x) \leq 3 b - ln (- a) - a$ 恒成立，求实数 $b$ 的最小值．

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2、某气象观测网在沿海某干线上部署了 $n (n \geq 3, n \in Z)$ 个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…， $n$ .为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这 $n$ 个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为 $X$ ，第二次指令选中的气象站编号为 $Y$ .

(1)、若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率；

(2)、为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将 $X$ 与 $Y$ 中的较大值记为 $U$ （即相对偏北的站点编号），将 $X$ 与 $Y$ 中的较小值记为 $V$ （即相对偏南的站点编号）.
（ⅰ）记两次指令的选中编号之和为 $S$ ，即 $S = U + V$ ，求 $E (S)$ ；
（ⅱ）定义两次指令的空间跨度 $D = U - V$ ，证明： $E (D) < \frac{n}{3}$ .
（参考公式： $\sum_{k = 1}^{m} k^{2} = \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6}$ ）

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3、设 ${(3 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，求下列各式的值：
（1） $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ；
（2） $a_{0} + a_{2} + a_{4}$ ；
（3） $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5}$ ．

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4、已知函数 $f (x) = a x + \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为.

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5、若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 $8$ ，且组成 $a, b, c$ 的 $8$ 个数码能排列为 $2, 0, 2, 5, 0, 6, 0 ， 7,$ 则称 $(a, b, c)$ 为“幸运数组”，例如 $(7, 6, 202500)$ 是一个幸运数组.则满足 $10 < a < b < c$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + \ln x$ ，则过点 $(a, b)$ 恰能作曲线 $y = f (x)$ 的两条切线的充分条件可以是（）

A、 $b = 2 a - 1 > 1$ B、 $b = f (a)$ C、 $2 a - 1 < b < f (a)$ D、 $b < 2 a - 1 \leq - 1$

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7、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从两点分布，且 $P (X = 0) = \frac{2}{3}$ ，则 $E (X) = \frac{1}{3}$ B、某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为 $\frac{9}{20}$ C、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (8, \frac{2}{3})$ ，则 $P (X = 5) > P (X = 6)$ D、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (8, \frac{2}{3})$ ，且 $Y = 3 X - 1$ ，则 $E (Y) = 15$ ， $D (Y) = 16$

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8、某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（）

A、40 B、28 C、20 D、14

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9、子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）

A、120种 B、210种 C、1440种 D、2880种

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10、疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去 $A$ 检测点，则不同的安排方法有（）

A、76 B、88 C、100 D、124

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11、若 $(x^{2} + 1) {(2 x + 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + a_{11} {(x + 2)}^{11}$ ，则 $\sum_{i = 0}^{11} a_{i} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $2 \times 3^{9}$ D、 $2 \times {(- 3)}^{9}$

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12、若 $C_{n}^{n - 2} = 15$ ，则 $n$ =（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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13、已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x + b,$ 曲线y=f（x)在点（0， f（0))处的切线方程为y=-2x+1.

(1)、求a，b；

(2)、当x>0时，f（x+m)-f（x)>m，求m的取值范围；

(3)、当x>0时，f（x+k)+f（k-x)>2f（k)，求k的最小值.

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14、椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a ＞ 1),$ 过右焦点垂直于x轴的直线被E所截线段长为 $\sqrt{2} .$

(1)、求E的离心率；

(2)、O为坐标原点，给定点 $G (t_{0}, 0) (t_{0} \neq 0) ； A (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 在E上，过点A作y轴的垂线，交 E于点 B，AO与GB交于点P.当A在E上运动时，P的轨迹为M.
（i)求M的方程；
（ii)M是否有中心点?当t₀为何值时，M有中心点?当M有中心点时，平移M到 M'，使O为M'的中心点，说明M'为何形状?

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15、在△ABC中，已知 $c o s B = \frac{3}{4}, {c o s}^{2} (A + C) + s i n A s i n C = 1 .$

(1)、证明： △ABC为钝角三角形；

(2)、若△ABC面积为 $\frac{\sqrt{7}}{4},$ 求△ABC周长.

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16、三棱锥A-BCD中， E在BD上， AE⊥CE， AE⊥DE，CD⊥AD。

(1)、证明：CD⊥AB；

(2)、若DE =2，BE = 1，AE = $\sqrt{2}$ ， CD =2 $\sqrt{3}$ 求AD与平面ABC所成角的正弦值.

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17、某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天)，绘制成如下的频率分布直方图：

(1)、求第一四分位数和中位数；

(2)、 $\hat{p}$ 为首次故障时间小于 365天的概率估计值.
（i)求 $\hat{p}$ ；
（ii)工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障小于365天的件数，则X ~B（100， $\hat{p}$ )，求 E（X)，D（X).

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18、已知球O的体积为 $4 \sqrt{3} π,$ A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形， $D A = D B = D C = \sqrt{2},$ 则△ABC的面积为.

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19、若函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{2 - x} - m$ 有两个零点，则m的取值范围是.

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20、 S_n为等差数列{a_n}前n项和.若 $a_{1} = - 1, a_{4} = 5,$ 则 $S_{6} =$ .

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