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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\sqrt{3} a sin C = c (2 + cos A)$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值．

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x + {cos}^{2} x - \frac{1}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - l n x ， 0 < x \leq 1 \\ 1 - {(x - 2)}^{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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4、已知向量 $\vec{a} = (cos θ, sin θ), \vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $θ =$ ．（写出一个值即可）

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ ，则 $a_{2025} =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、当 $a \leq 0$ 时， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个极小值点 C、当 $a = e$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立 D、若方程 $f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则 $a > e$

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7、（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（）．

A、 $\exists x \in Z$ ， $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ B、至少有一个 $x \in Z$ ，使 $x$ 能同时被2和3整除 C、 $\exists x \in R$ ， $|x| < 0$ D、有些自然数是偶数

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8、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x) \leq |f (\frac{π}{6})|$ 且函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 满足 $T \in (\frac{π}{5}, \frac{π}{3})$ ，则 $T =$ （）

A、 $\frac{2 π}{7}$ B、 $\frac{2 π}{9}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{4 π}{15}$

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9、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $ϕ (ϕ > 0)$ 个单位后关于原点对称，则 $ϕ$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、已知 $a = {log}_{2} 3 ， b = {log}_{3} 2 ， c = 2^{- 0.5}$ ，则（　　）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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11、记 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1, S_{3} = \frac{7}{4}$ ，则 $S_{5} =$ （　　）

A、 $\frac{31}{16}$ B、 $\frac{33}{16}$ C、 $\frac{31}{8}$ D、 $\frac{33}{8}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （　　）

A、1 B、2 C、3 D、5

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13、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = |3 + 4 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（　　）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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14、已知集合 $A = \{x ∣ {log}_{2} x < 2\} ， B = {x ∣ |x - 1| < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $（ 0, 2 ）$ B、 $（ 0, 3 ）$ C、 $（ 1, 4 ）$ D、 $（ 1, 2 ）$

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⟂ A B, A D = 2, A B = 1, P B = \sqrt{3}, P D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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16、如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点

(1)、求证：MN $/ /$ 平面PAD；

(2)、在PB上确定一个点Q，使平面MNQ $/ /$ 平面PAD.

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17、在 $△ A B C$ 中，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sin^{2} (B + C) - \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sin B \sin C = 0$ ． $c = 4$ ， $a + b = 6 + 2 \sqrt{7}$ ，求：

(1)、 $a$ 的值

(2)、 $△ A B C$ 的面积；

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， F为AC中点．
（1）求证： $A B_{1} //$ 平面 $B F C_{1}$ ．
（2）若此三棱柱为正三棱柱，且 $A_{1} A = \sqrt{2} A_{1} C_{1}$ ，求 $∠ F B C_{1}$ 的大小.

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19、已知复数z使得 $z + 2 i \in R ， \frac{z}{2 - i} \in R$ ，其中i是虚数单位.

(1)、求复数z的共轭复数；

(2)、若复数 ${(z + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ .
（I）求向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角的余弦值
（II）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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