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相关试卷

1、为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 $170 cm$ 的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：
身高
性别
低于 $170 cm$
不低于 $170 cm$
合计
男
9
91
100
女
90
10
100
合计
99
101
200

(1)、在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于 $170 cm$ 的概率是多少？

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义．
附 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (x^{2} \geq k)$
0.05
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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2、一袋中有4个白球和3个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复3次这样操作后，记袋中的白球个数为 $X$ ，则 $E (X) =$ ．

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3、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，且 $\sqrt{3} c sin A - a cos C = 2 c - b$ ，则 $A =$ ．

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4、若直线 $y = a x - 3$ 是曲线 $y = ln x$ 的切线，则 $a =$ ．

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5、一家大型超市的店长为了解本店日销售情况，记录了过去100天的日销售营业额（单位：万元）并将数据整理下表
日销售额
$[100 ， 150 ）$
$[150 ， 200)$
$[200 ， 250)$
$[250 ， 300)$
$[300 ， 350)$
频数
5
20
40
30
5
据表中数据，结论中正确的是（　　）

A、100天日销售营业额的中位数小于250万元 B、100天日销售营业额的平均值为230万元 C、100天日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间 D、100天日销售营业额的极差介于150~250之间

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6、已知向量 $\vec{a} = (5, x)$ ， $\vec{b} = (- 5, x)$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $\forall x \in R$ ， $x \neq 0$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\exists x \in R$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\forall x \in R$ ， $x \neq 0$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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7、已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ，直线 $l ： x + y + m = 0$ ．若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得过点 $P$ 的直线与圆 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，且满足 $|A B| = \sqrt{2} ， \vec{P A} = \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $- 5 \sqrt{2} \leq m \leq 5 \sqrt{2}$ B、 $- 5 \sqrt{2} \leq m \leq 3 \sqrt{2}$ C、 $- 3 \sqrt{2} \leq m \leq 5 \sqrt{2}$ D、 $- 3 \sqrt{2} \leq m \leq 3 \sqrt{2}$

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8、若 $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$ ，则 $\sqrt{y - x} + \sqrt{z - x} + \sqrt{z - y}$ 的最大值是（）

A、0 B、 $\sqrt{2} +1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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9、若定义在 $(0, + \infty)$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (6 - x) = 3 ln x$ ，则函数 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处的瞬时变化率为（　　）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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10、若函数 $f (x) = |{cos}^{2} ω x + 2 sin ω x cos ω x - {sin}^{2} ω x|$ 的最小正周期为2，则正实数 $ω =$ （　　）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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11、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $3 x + y = 0$ ，则其离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12、某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查，拟从高一、高二、高三等三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生，则不同的抽样结果种数有（）

A、 $C_{400}^{20} C_{300}^{40} C_{300}^{40}$ B、 $C_{400}^{30} C_{300}^{35} C_{300}^{35}$ C、 $C_{400}^{35} C_{300}^{35} C_{300}^{35}$ D、 $C_{400}^{40} C_{300}^{30} C_{300}^{30}$

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13、在复平面内， $(1 + i) (1 + 3 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、集合 $A = \{1 ， 2 ， 3 ， 4\} ， B = \{3 ， 4 ， 5 ， 6\}$ ，则 $A \cup B$ 中的元素个数为（　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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15、如图，正 $△ A B C$ 的边长为1， $A D$ 是边 $B C$ 上的中线且点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线与边 $A B 、 A C$ 分别交于点 $M 、 N$ （点 $M 、 N$ 可以和端点重合）

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、当 $A M = \frac{4}{5}$ 时，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O M}$ 的值；

(3)、设 $∠ M O A = α$ ，请用 $α$ 表示 $\sqrt{O M^{2} + O N^{2} + O D^{2}}$ ，并求其取值范围.

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°.
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若 $P C = 4$ ，且平面 $P A C$ ⊥平面 $P B C$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 体积.

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17、在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段： $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90]$ ，绘制了如下的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布表，估计该小组第 $62$ 百分位数以及平均成绩.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 6$ ， $2 a - b = 2 c \cos B$ ，

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求边长 $a$ 的值．

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19、如图，在边长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足 $B_{1} P ⊥ D_{1} E$ ，则点 $B_{1}$ 和满足条件的所有点P构成的图形的周长是.

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20、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围为.

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身高性别	低于 $170 cm$	不低于 $170 cm$	合计
男	9	91	100
女	90	10	100
合计	99	101	200

日销售额	$[100 ， 150 ）$	$[150 ， 200)$	$[200 ， 250)$	$[250 ， 300)$	$[300 ， 350)$
频数	5	20	40	30	5

$P (x^{2} \geq k)$	0.05	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828