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相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $\vec{A M} = x \vec{A B} (0 < x < 1)$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C} (0 < y < 1)$ ，设 $C M$ 与 $B N$ 交于点 $P$ ，且 $\vec{C P} = 2 \vec{P M}$ ．

(1)、求 $2 x y - 3 y$ 的值；

(2)、定义平面非零向量之间的一种运算“ $\oplus$ ”： $\vec{a} \oplus \vec{b} = \frac{|\vec{a}| sin θ}{|\vec{b}|}$ （其中 $θ$ 是两非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角）．
（ⅰ）若 $M$ 为 $A B$ 的中点，求 $\vec{P B} \oplus \vec{P C}$ 的值；
（ⅱ）若 $\vec{A P} \oplus \vec{B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $x + y$ 的值．

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2、（用坐标法不给分）已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所有棱长均为 $2, ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设平面 $B D C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 交于直线 $l$ ，求证：直线 $l / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(3)、求二面角 $D - B D_{1} - C_{1}$ 的平面角的正弦值．

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3、某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中 $m$ （ $m \in \{2, 3, 4, 5\}$ ）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）．

(1)、若 $m = 2$ ，求一次抽奖中奖的概率；

(2)、若要求一次抽奖中奖的概率最小．
（ⅰ）求 $m$ ；
（ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{13}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ ；

(2)、若 $b = 4, c = 3, ∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ ，求 $A D$ 的长．

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5、2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求该样本的平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $y$ ．

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6、如图，在棱长均为4的正四棱锥 $V - A B C D$ 中， $\frac{V E}{V C} = \frac{1}{4}$ ，若过点 $E$ 且垂直于棱 $V C$ 的平面分别交棱 $V B, A B, A D, V D$ 于点 $F, G, H, I$ ，则五边形 $E F G H I$ 的面积为．

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7、如图，小明为了测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测得 $∠ A C B = 30 °, ∠ A D B = 45 °, ∠ B D C = 135 °, C D = 10 \sqrt{2}$ ，则塔高 $A B =$ ．

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8、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，记 $\bar{B}$ 为事件 $B$ 的对立事件，若 $P (A) = 0.8, P (\bar{B}) = 0.6$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A + B) =$ ．

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = 120 °, \vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，则（）

A、 $a = \frac{2}{3} c$ B、 $tan A = \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $(\vec{B A} + 6 \vec{B C}) \cdot \vec{A C} = 0$ D、 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{8} c^{2}$

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10、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 均不为零，则（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、 ${(z_{1} - z_{2})}^{2} = {|\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}|}^{2}$ C、 $\bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}} = \bar{z_{1} z_{2}}$ D、 $\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$

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11、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A B = 4, P B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为线段 $P B$ 上的动点，则（）

A、 $P O = \sqrt{3}$ B、圆锥 $P O$ 的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ C、直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、当 $E$ 为线段 $P B$ 中点时，直线 $C E$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值最大

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12、一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $6 \sqrt{6}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $24 \sqrt{3}$

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{π}{3}, c = 2$ ，且 $a - 1 = \sqrt{3} cos C$ ，则 $sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 是两个垂直的单位向量．若 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}, \vec{b} = 2 {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ，设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $cos θ =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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15、柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若 $A$ 表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”， $B$ 表示事件“取出的手套都是右手的”， $C$ 表示事件“取出的手套不成双”，则（）

A、 $P (C) = P (A) + P (B)$ B、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ C、 $P (A B) = P (A) P (B)$ D、 $P (A \cup C) = P (A) + P (C)$

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16、已知直线 $a, b$ 与平面 $α, β$ ，则能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $a ⊥ α, b ⊥ β, a / / b$ B、 $a \subset α, b \subset β, a ⊥ b$ C、 $a / / b, a ⊥ β, b \subset α$ D、 $α \cap β = a, b ⊥ a, b \subset β$

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17、已知 $z - i = \frac{1 + 3 i}{3 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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18、已知 $A (- 1, - 1), B (x, 3), C (2, 5)$ 三点共线，则 $x =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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19、某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（）

A、12 B、6 C、4 D、2

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20、某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为 $n (n \in N^{*})$ 的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率 $p$ 传输记为0，以概率 $1 - p$ 传输记为1，其中 $0 < p < 1$ ，每位数码的传输相互独立，并设事件 $A_{n}$ 为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求 $P (A_{3})$ ；

(2)、证明：对任意的正整数 $n$ ，有 $P (A_{n}) = \frac{1 + {(2 p - 1)}^{n}}{2}$ ；

(3)、在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为 $B$ ，问： $P (B ∣ A_{n})$ 是否存在最大值？若存在，求出使 $P (B ∣ A_{n})$ 取到最大值的正整数 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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