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相关试卷

1、曲线 $y = x e^{x} - x$ 在点 $P$ 处切线的斜率为 $- 1$ ，则 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 1 - \frac{1}{e})$ C、 $(1, e - 1)$ D、 $(1, 2 e - 1)$

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2、函数 $y = \frac{cos x}{x}$ 的导数是（）

A、 $- \frac{sin x}{x^{2}}$ B、 $- sin x$ C、 $- \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、 $- \frac{x cos x + cos x}{x^{2}}$

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3、某电动自行车的耗电量 $y$ 与速度 $x$ 之间的关系式为 $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{39}{2} x^{2} - 40 x (x > 0)$ ，为使其耗电量最小，则其速度为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且经过点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ ， M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点 $Q （$ 异于点 $M ） .$

(1)、求C的标准方程；

(2)、求 $△ P Q M$ 面积的最大值.

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5、2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 $x$ （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（ $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

(1)、求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、如果用分层抽样的方法从样本成绩为 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率；

(3)、某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ ，已知这10个分数的平均数 $\bar{x} = 80$ ，标准差 $s = \sqrt{35}$ ，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} [a x^{2} + (a - 5) x + 1]$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线与直线 $l : 4 e x + y + 2 = 0$ 平行．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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7、将数据 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ， …排成如图的三角形数阵，（第一行一个 $2^{n - 1}$ ，第二行两个 $2^{n - 2}$ ， ⋯，最下面一行有 $n$ 个 $2^{0}$ ， $n \in N^{*}$ ）则数阵中所有数据的和为.

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8、设 $f (x) = e^{x^{2}}$ ，其在点 $(0, 1)$ 处的切线斜率为．

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9、（多选）已知向量 $\vec{m} + \vec{n} = (1, 1)$ ， $\vec{m} - \vec{n} = (3, 3)$ ，则（）

A、 $(\vec{m} - \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ B、 $(\vec{m} - \vec{n})$ $//$ $\vec{n}$ C、 $|\vec{m}| = \sqrt{2} |\vec{n}|$ D、 $⟨\vec{m}, \vec{n}⟩ = 180 °$

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10、函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11、已知角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点 $P (- 1, 2)$ ，则 $\frac{1 + tan α}{1 - tan α} - \frac{1}{cos 2 α} =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c = 1$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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13、已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} (1 - i) = 3 + 5 i$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $4 + 4 i$ B、 $4 - 4 i$ C、 $- 1 + 4 i$ D、 $- 1 - 4 i$

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14、若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线 $y = \frac{1}{x}$ 具有垂直渐近线 $x = 0$ ；当渐近线L的斜率存在且不为零时，称L为斜渐近线，例如双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 存在两条斜渐近线 $y = \pm 2 x$ ．

(1)、请判断正弦曲线 $y = \sin x$ 是否存在垂直渐近线或斜渐近线，不必说明理由；

(2)、证明曲线 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 存在垂直渐近线 $x = 0$ 、斜渐近线 $y = x$ ；

(3)、求曲线 $g (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x - 3}$ 的渐近线，并作出曲线 $y = g (x)$ 的简图．

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15、已知 $△ A P Q$ 的三个顶点都在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，其中 $A (1, 2)$ ．

(1)、当 $△ A P Q$ 是直角三角形且 $∠ A = 90 °$ 时，证明直线 $P Q$ 过定点；

(2)、设直线 $P Q$ 过点 $T (5, - 2)$ ，是否有在以弦 $P Q$ 为底边的等腰 $△ A P Q$ ？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由．

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16、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是正方形， $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ，二面角 $E - A B - D$ 与二面角 $E - C D - A$ 的大小相等．

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $C D E$ 与平面 $B C E$ 的夹角的余弦值．

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17、已知向量 $\vec{m} = (sin A, cos A)$ ， $\vec{n} = (cos B, sin B)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = sin 2 C$ ，且角A、B、C分别为 $△ A B C$ 三边a、b、c的对角．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $sin A$ 、 $cos C$ 、 $sin B$ 成等比数列，且 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 18$ ，求 $△ A B C$ 边c上的高h．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{array}$ ．

(1)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，当 $m = 1024$ 时，求 $S_{12}$ ；

(2)、若 $a_{6} = 4$ ，求m所有可能的取值集合M．

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19、已知曲线 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 2$ 在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为．

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20、过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为．

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