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相关试卷

1、在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数 $R_{1}^{2} = 0.9520$ 、模型②的决定系数为 $R_{2}^{2} = 0.9781$ ；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是．（填“甲”或“乙”或“丙”）

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = \tan \frac{π}{4} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、 $f (\frac{4}{3}) = \sqrt{3}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[2023, 2025]$ 上单调递增 D、当 $x \in [0, 201]$ 时，方程 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的所有解的和为 $9050 \frac{2}{3}$

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3、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{A E}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{B F}$ ， $\vec{A_{1} B_{1}} = - 3 \vec{B_{1} H}$ ， $\vec{C_{1} B_{1}} = - 3 \vec{B_{1} G}$ ，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（）

A、平面 $E F G H / /$ 平面 $A_{1} A C$ B、平面 $E F G H / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ C、平面 $E F G H ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ D、平面 $E F G H ⊥$ 平面 $A_{1} B D$

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4、已知复数 $z_{0} = 1 - i$ ， $z = x + y i$ （x， $y \in R$ ），则下列结论正确的是（）

A、方程 $|z - z_{0}| = 2$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B、方程 $|z - z_{0}| + |z - \bar{z_{0}}| = 2$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C、方程 $|z - z_{0}| - |z - \bar{z_{0}}| = 1$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D、方程 $|z + \frac{1}{2} (z_{0} + \bar{z_{0}})| = |z - z_{0}|$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线

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5、设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（）

A、 $A_{1}$ 与B相互独立 B、 $P (B |A_{2}) = \frac{2}{11}$ C、 $P (B) = \frac{3}{10}$ D、 $P (A_{3} |B) = \frac{1}{2}$

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6、如果圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 4 = 0$ 关于直线l对称，则直线l的方程为（）

A、 $y = - x - 2$ B、 $y = - x$ C、 $y = - x$ 或 $y = x + 2$ D、 $y = x + 2$

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7、设 $a \in R$ ，若函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 2$ 在 $(1, 2)$ 内存在极值点，则a的取值范围是（）

A、 $[3, \frac{9}{2}]$ B、 $(3, \frac{9}{2})$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$

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8、若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、 $6 \sqrt{2} π$ D、 $\frac{π}{3}$

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9、在 $(x - 2021) (x + 2022) (x - 2023) (x + 2024) (x - 2025)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）

A、 $- 2025$ B、 $- 2023$ C、 $- 2021$ D、 $2025$

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10、要得到函数 $y = sin 2 x$ 的图象，只要将函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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11、“ $\log_{3} a > \log_{3} b$ ”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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12、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、不存在

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13、在 $△ A B C$ 中， $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，若 $D$ 是 $A B$ 的中点 $(\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B})$ ，则 $\vec{C D} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ ；若 $D$ 是 $A B$ 的一个三等分点 $(\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B})$ ，则 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ ；若 $D$ 是 $A B$ 的一个四等分点 $(\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B})$ ，则 $\vec{C D} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

(1)、如图①，若 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C D}$ ，你能得出什么结论？并加以证明．

(2)、如图②，若 $\vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{M B}$ ， $\vec{C N} = \vec{N A}$ ， $A M$ 与 $B N$ 交于 $O$ ，过 $O$ 点的直线 $l$ 与 $C A$ ， $C B$ 分别交于点 $P$ ， $Q$ ．
①利用（1）的结论，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C O}$ ；
②设 $\vec{C P} = x \vec{C A}$ ， $\vec{C Q} = y \vec{C B} (x > 0, y > 0)$ ，求 $x + y$ 的最小值．

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a - b = c (\cos B - \cos A)$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形或等腰三角形

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15、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, M, N$ 分别为 $A B, B C$ 边上的动点，若 $E$ 为 $M N$ 的中点，且满足 $|\vec{B E}| = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为（）

A、 $8 - 4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $16 - 8 \sqrt{2}$ D、8

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 8, B = 30^{\circ}, C = 105^{\circ}$ ，则 $b$ 等于（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2$

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18、某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：
单位：人
一年内是否索赔
驾龄
合计
不满10年
10年以上
是
10
5
15
否
90
95
185
合计
100
100
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？

(2)、保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为 $p$ ，投保的老司机索赔的概率均为 $q (p \neq q)$ ．假设投保司机中新司机的占比为 $β (0 < β < 1)$ .随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第 $i$ 年索赔”为 $A_{i}$ ，事件“这名司机是新司机”为 $B$ .已知 $P (A_{i} |B) = P (A_{i} |A_{j} B), P (A_{i} |\bar{B}) =$ $P (A_{i} |A_{j} \bar{B})$ $(i \neq j)$ .
（i）证明： $P (A_{1} A_{2} B) = P (A_{2} |A_{1} B) P (A_{1} |B) P (B)$ ；
（ii）证明： $P (A_{2} |A_{1}) > P (A_{1})$ ，并给出该不等式的直观解释.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$χ_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$

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19、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2, A C = B C$ ， $l$ 为平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 的交线， $P$ 为直线 $l$ 上一点．

(1)、若 $A C = 2$ ，求 $△ P A C$ 的面积；

(2)、若平面 $A A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A C$ ．

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20、已知地物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $l : y = x + t$ ．当 $t = \frac{1}{2}$ 时， $l$ 与 $C$ 有且仅有一个交点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ ，设 $A B$ 的中点为 $M$ ，过点 $M$ 平行于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于点 $N$ ，求 $\frac{{|A B|}^{2}}{|M N|}$ ．

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一年内是否索赔	驾龄		合计
一年内是否索赔	不满10年	10年以上	合计
是	10	5	15
否	90	95	185
合计	100	100	200

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$χ_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$