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相关试卷

1、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = B D = 2$ ， $A B ⊥ B D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ B P D$ ，其中 $P$ 为动点.

(1)、若 $A P = A D$ ，证明： $A B ⊥$ 平面 $B P D$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值的最大值.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} ^{2}}{2^{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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3、已知 $\vec{a}$ 是平面内的任意一个向量，向量 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，且 $|\vec{b}| = 4$ ， $|\vec{c}| = 4$ ，则 $\sqrt{2} |\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{c}| + |\vec{a} + \vec{c}|$ 的最小值为.

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4、 ${(1 + 2 x - 3 y)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3} y$ 的项的系数为；

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5、已知角 $α$ 终边上一点 $P (2, 1)$ ，则 $\frac{sin 2 α}{1 + cos 2 α} =$ ；

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6、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过其右焦点 $F_{2} (5, 0)$ 的直线 $l$ 与它的右支交于 $P$ 、 $Q$ 两点， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ， $△ P A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 相切于点 $B$ ，设 $|A B| = t$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $t = 4$ ，则 $\begin{matrix} | | P F_{1} \end{matrix} | - \begin{matrix} | P F_{2} \end{matrix} | | = 8$ ； B、记 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ； C、若 $t = 3$ ，过点 $(2, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $E$ 有2个交点，则 $k \in (- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ ； D、若 $t = 3$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆的面积之和的最小值为 $8 π$ .

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7、已知 $f (x) = {(x + 1)}^{3} + a x + a$ ， $a \in R$ ，则下列说法中正确的是（）

A、当 $a = - 3$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为1； B、当 $a = - 3$ 时，过点 $(- 1, 0)$ 可作一条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切； C、对 $\forall a \in R$ ，点 $(- 1, f (- 1))$ 是 $y = f (x)$ 的对称中心； D、若直线 $y = k x + k + 2 a + 2$ 与 $f (x)$ 有三个交点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 3$ .

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8、下列结论正确的是（）

A、已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53； B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 40$ ， $D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{3}{4}$ ； C、若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法； D、一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.

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9、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 向圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = b^{2}$ 引切线交椭圆于点 $P$ （在 $x$ 轴上方），若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{1}{2} b^{2}$ ，则椭圆的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为 $0.8$ 和 $0.2$ ；发送1时，接收为0和1的概率分别为 $0.1$ 和 $0.9$ .若接收信号为1的概率为 $0.76$ ，则发送信号为1的概率为（）

A、0.2 B、0.5 C、0.8 D、0.9

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11、已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足 $m ⊥ α, n \subset β$ ，则 $m // n$ 是 $α ⊥ β$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ， $A = 60^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B$ 的内角平分线交边 $A C$ 于点 $D$ ，则 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{3}$

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13、设 $a = {log}_{\sqrt{2}} cos \frac{1}{2}$ ， $b = cos \frac{1}{2}$ ， $c = 2 sin \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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14、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $\vec{a} = (1, 0)$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、1 C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、若复数 $z$ 满足 $4 z = {(1 + i)}^{4}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x > 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{- 1, 4, 5\}$ D、 $\{- 1, 0, 4, 5\}$

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 绕着 $y$ 轴旋转一周构成双曲面 $D$ ，其中 $C$ 在旋转过程中的所有实轴落在 $x O z$ 平面内，设 $x O z$ 所在的平面为 $α$ ，平面 $β$ 满足 $α // β$ ，且 $α$ 与 $β$ 之间的距离为 $\sqrt{3} b$ .

(1)、若点 $P (x, z, y)$ 在 $D$ 上，试用含 $x, z, y$ 的方程表示 $D$ （不用说明理由）.

(2)、设 $T_{α}, T_{β}$ 分别是 $α, β$ 截得 $D$ 的截面.
（i）设 $l_{α}, l_{β}$ 分别为 $T_{α}, T_{β}$ 上的弦，求 $l_{α}, l_{β}$ 所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面 $T_{β}$ 的圆周上的点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 恰好构成正 $n$ 边形的顶点， $P$ 为 $D$ 上一动点，若对任意 $a > b > 0, λ |\sum_{i = 1}^{n} \vec{P A_{i}}| \geq n \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 2 e^{1 - x} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、证明： $f (x) \geq 3 ln x$ .

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c (2 - \cos A) = a \cos C$ .

(1)、求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 的值；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $b = 6$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，求AD的长.

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20、函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 6$ 的极小值是.

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