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相关试卷

1、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 5$ ， $A D = 3$ ，点 $P$ 在底面四边形 $A B C D$ 内（含边界）运动，且满足 $B D_{1} ⊥ B_{1} P$ ，点 $M$ 是线段 $B_{1} P$ 的中点，则下列选项中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹是线段，其长度为 $\frac{3 \sqrt{34}}{5}$ B、三棱锥 $M - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为定值 C、直线 $D_{1} M$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为1 D、存在点 $M$ ，使得 $M$ 到 $A D$ 的距离为 $\frac{5}{2}$

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2、已知直线 $l : (m - 2) x + (m + 1) y - 3 m + 1 = 0$ ，则下列选项中正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$ B、若直线 $l$ 与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 平行，则 $m = 0$ C、若直线 $l$ 不经过第二象限，则 $- 1 < m \leq \frac{1}{3}$ D、原点到直线 $l$ 的距离可能为2

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3、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (0, 1, - 1)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - 2$ C、向量 $\vec{a} - \vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的模长为 $\frac{5}{3}$ D、若 $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ ，则 $x = \pm 2$

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4、已知球 $O$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球，点 $M$ 为球 $O$ 表面上一动点，且满足 $B M / /$ 面 $A D_{1} C$ ，则 $M A_{1}^{2} + M B^{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{14}{3}$ B、2 C、6 D、 $\frac{8}{3}$

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5、已知点 $P$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上运动，圆 $C^{'}$ 的圆心为椭圆的右焦点 $F$ ，半径 $r = \sqrt{3}$ ，点 $Q$ 在圆 $C^{'}$ 上，则 $|P Q|$ 的取值范围是（）

A、 $[2 - \sqrt{3}, 6 + \sqrt{3}]$ B、 $[0, 8]$ C、 $[2 - \sqrt{3}, 8]$ D、 $[1, 7]$

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6、椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4 - m^{2}} = 1$ 的离心率可能是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、过圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 外一点 $P (0, 4)$ 作圆的两条切线，切点为 $A$ 、 $B$ ，则 $△ A B P$ 的外接圆半径是（）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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8、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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9、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 2, 2)$ ，点 $A (1, 0, 1)$ 在平面内，则点 $B (2, 1, 3)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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10、双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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11、直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$ 的倾斜角是（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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12、已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + \sin (2 x + \frac{π}{6}) - \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、化简 $f (x)$ 并求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $[0, m)$ 的值域为 $[2, 3]$ ，求m的取值范围；

(3)、在锐角三角形ABC中， $f (B) = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $c - a$ 的范围．

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13、已知 $A$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为6，到 $y$ 轴的距离为5 .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $C$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点， $\vec{M F} = 2 \vec{F N}$ ，求 $|M N|$ .

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14、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $|A B| =$ ．

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15、大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中每一项代表了太极衍生过程．已知大衍数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + n + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + n, n 为偶数 \end{array}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 8$ B、 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - a_{6} + a_{7} - a_{8} = - 20$ C、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 n + 1$ D、 $a_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{n^{2} - 1}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2}, n 为偶数 \end{array}$

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在C上，且 $|P F_{1}|$ 的最大值为3，最小值为1，则（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ F_{2} P F_{1}$ 的周长为4 C、点P可能在以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为直径的圆上 D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{2} P F_{1}$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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17、已知圆C： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $(m + 1) x + 2 y - 1 + m = 0 (m \in R)$ ，则（）

A、直线l恒过定点 $(- 1, 1)$ B、当 $m = 0$ 时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C、直线l被圆C截得的最小弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、圆C与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 8 = 0$ 外切

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18、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，若位于第一象限的点 $P (a, b)$ 在两圆的公共弦上，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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19、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外） $A, B$ 两点，若 $|A B| = b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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20、已知 $cos (α - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} = sin α$ ，则 $cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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