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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = a, a_{2} = 2 - a, a_{n + 2} = 2 a_{n}$ ，则 $S_{2 n} =$ （）

A、 $2^{n + 1} - 2$ B、 $a (2^{n + 1} - 2)$ C、 $2^{2 n} - 2$ D、 $a (2^{2 n} - 2)$

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2、为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量
天然气价格
不超过 $300 m^{3}$
2.98元 $/ m^{3}$
超过 $300 m^{3}$ 但不超过 $480 m^{3}$ 的部分
3.60元 $/ m^{3}$
超过 $480 m^{3}$ 的部分
4.50元 $/ m^{3}$
若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（）

A、 $610 m^{3}$ B、 $600 m^{3}$ C、 $558.7 m^{3}$ D、 $462.7 m^{3}$

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3、已知正三棱台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ ，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正三棱台的高为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4、已知集合 $A = {x ∣ x < 4}, B = {x ∣ 0 < x < 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(- \infty, 5)$

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5、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱与底面所成的角为 $45^{\circ}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ，则该四棱台的体积为．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B // D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{5}$ ， $P D = 1$ ，在线段 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $Q$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ ？若存在，求出 $P Q$ 的值；若不存在，说明理由.

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7、已知实数 $x, y, z$ 满足 $e^{x} - e^{2} = e (x - 2) \neq 0, e^{y} - e^{e} = e (y - e) \neq 0$ ， $e^{z} - e^{3} = e (z - 3) \neq 0$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则 $x, y, z$ 的大小关系是（）

A、 $x < y < z$ B、 $y < x < z$ C、 $z < x < y$ D、 $z < y < x$

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8、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (2 x - 1)$ 为偶函数，则下列一定成立的是（）

A、 $f (- 3) = 0$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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9、已知集合 $A = {- 4, 0, 1, 2, 8}, B = \{x ∣ x^{3} = x\},$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2, 8}$ C、 ${2, 8}$ D、 ${0, 1}$

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10、函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in R)$ 恒有 $f (x) \leq f (2 π)$ ，且 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω =$ ．

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11、已知 $0 < α < π$ ， $\cos \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} - a_{n + 1} = 2^{n} a_{n} a_{n + 1}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{2}{2^{n - 1} + 1}$ B、 $\frac{1}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{2}{2^{n} + 1}$ D、 $\frac{1}{2^{n} - 1}$

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13、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2, E$ 为边AB的中点，将 $△ A D E$ 沿直线DE翻折成 $△ A_{1} D E$ （ $A_{1} \notin$ 平面BCDE），若 $M$ 在线段 $A_{1} C$ 上（点 $M$ 与 $A_{1}, C$ 不重合），则在 $△ A D E$ 翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（）

A、当 $M$ 为 $A_{1} C$ 的中点时，与平面 $A_{1} D E$ 垂直的直线必与直线MB垂直 B、存在某个位置，使 $D E ⊥ A_{1} C$ C、当四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 体积最大时，点 $A_{1}$ 到平面BCDE的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当二面角 $A_{1} - D E - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ 时，异面直线 $A_{1} D$ 与BE所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$

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14、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 1)$ 、 $Q (4, 5)$ 两点，直线 $m$ 的倾斜角是直线 $l$ 的倾斜角的2倍，则直线 $m$ 的斜率为．

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15、已知 $f (x) = e^{x} + e^{- x} + λ sin x (λ \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求λ的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > π$ ；

(3)、当 $λ = 2$ 时，定义复数 $z_{n} = f (n π) + i f^{'} (n π)$ ， $n \in N^{*}$ ， i为虚数单位，记 $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} z_{j}$ .求证：对任意 $n \in N^{*}$ ，复数 $S_{n}$ 的模均满足 $|S_{n}| < \frac{e^{(n + 1) π}}{10} + 1$ .

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16、某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据：
单位：人
性别
商场购物意愿
合计
喜欢在商场购物
不喜欢商场购物
男性
60
30
90
女性
90
20
110
合计
150
50
200

(1)、根据小概率值 $α = 0.050$ 的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联.

(2)、采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望.

(3)、某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为 $P (n)$ ，求当 $P (n)$ 取最大值时n的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
α
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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17、如图，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，E，F分别是棱 $B C$ ， $C D$ 上的动点.

(1)、设E，F分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点.证明： $E F //$ 平面 $A B^{'} D^{'}$ ；

(2)、设 $B E = C F$ .
（ⅰ）证明： $B^{'} F ⊥ D^{'} E$ ；
（ⅱ）当三棱锥 $A^{'} - C E F$ 的体积取得最大值时，求平面 $A^{'} E F$ 与平面 $C E F$ 夹角的余弦值.

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18、已知函数 $f (x) = (x + 2) e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间及最值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k$ ，讨论 $g (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的零点个数.

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19、在一个数字转换程序中， $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为 $A (m, n)$ ，该程序运行满足以下3个条件：
① $A (1, 1) = 1$ ；② $A (m + 1, 1) = 4 A (m, 1) + 3$ ；③ $A (m, n + 1) = A (m, n) + 3$ .
若 $S_{2}$ 输入2025，且输出的数值为6103，则 $S_{1}$ 输入的正整数为.

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20、已知 $\forall x \in [1, 2]$ ， $x \ln x + a x + 2 \leq 0$ 恒成立，则a的取值范围是.

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每户每年天然气用量	天然气价格
不超过 $300 m^{3}$	2.98元 $/ m^{3}$
超过 $300 m^{3}$ 但不超过 $480 m^{3}$ 的部分	3.60元 $/ m^{3}$
超过 $480 m^{3}$ 的部分	4.50元 $/ m^{3}$

性别	商场购物意愿		合计
性别	喜欢在商场购物	不喜欢商场购物	合计
男性	60	30	90
女性	90	20	110
合计	150	50	200

α	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828