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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 1, B_{1} C = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A A_{1}$ 中点，求平面 $A B C$ 与平面 $B_{1} C D$ 夹角的正弦值.

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2、设 $n (n ⩾ 3)$ 为正整数，从集合 $\{0, 1, 2, \dots, n\}$ 的所有二元子集中任取两个，记为 $\{s, t\}$ ， $\{i, j\}$ ，其中 $s < t, i < j, \{s, t\}$ 与 $\{i, j\}$ 可以相同.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，记直线 $y = s, y = t$ 与直线 $x = i, x = j$ 的四个交点分别为 $A, B, C, D$ ，则以 $A, B, C, D$ 为顶点的四边形为正方形的概率为.（用含 $n$ 的代数式表示）附参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

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3、若样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数为 $4, x_{i}^{2} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数为22，则样本数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \dots, 2 x_{5} + 1, 9$ 的方差为.

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4、曲线 $y = \sqrt{x} - ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为.

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, \forall a, b \in R, {[f (a)]}^{2} - m {[f (b)]}^{2} = f (a + b) f (a - b)$ ，其中 $m$ 为给定的常数，且 $f (x)$ 不为常函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $m = 1$ 时， $f (x)$ 为奇函数 C、 $m = 0$ 或1是 $f (x)$ 存在的充要条件 D、当 $m = 0$ 时， $f (x)$ 没有最值

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6、设双曲线 $E : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2} . P$ 为 $E$ 上一点，且位于第一象限，直线 $P A_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积为 $S$ ，则（）

A、 $tan ∠ P A_{1} A_{2} \cdot tan ∠ P A_{2} A_{1} = 1$ B、 $∠ P A_{2} Q = 90^{\circ}$ C、若 $|A_{1} A_{2}| = |A_{2} P|$ ，则 $|A_{1} P| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $∠ A_{1} P A_{2} = 30^{\circ}$ ，则 $S = \sqrt{6}$

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7、已知正四面体 $P A B C$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $A P ⊥ B C$ B、 $A P$ 与 $B C$ 的距离为 $\sqrt{6}$ C、二面角 $A - B P - C$ 的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、正四面体 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{6}$

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8、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ . $P$ 为 $C$ 上一点， $⊙ P$ 的半径为 $|P F|$ ，过 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $⊙ P$ 于 $M, N$ 两点， $M$ 在 $N$ 的左侧.记 $C$ 的离心率为 $e$ ，点 $M$ 轨迹的离心率为 $e_{1}$ ，点 $N$ 轨迹的离心率为 $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{1} < e_{2}$ B、 $e_{2} < e_{1}$ C、 $e_{1} < e$ D、 $e < e_{2}$

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9、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) + tan (\frac{α}{2} - \frac{π}{4}) = cos α$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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10、已知圆柱 $M M_{1}$ 与圆锥 $N N_{1}$ 的体积与侧面积均相等，若 $N N_{1}$ 的轴截面为等腰直角三角形，则 $M M_{1}$ 与 $N N_{1}$ 的底面半径之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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11、若函数 $f (x) = e^{x + 1} + e^{a - x} + {(x + b)}^{2}$ 关于直线 $x = 2$ 对称，则 $a + b =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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12、已知 $x, y > 0$ ，设命题 $p : x + y ⩽ 2$ ，命题 $q : x y ⩽ 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设集合 $A = \{x |\frac{1 - x}{3 - x} ⩾ 0\}, B = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B$ 中所有元素之和为（）

A、3 B、8 C、9 D、12

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 3, \vec{b} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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15、在复平面内， $\frac{1 + i}{1 + 2 i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $M (- 2, 0)$ 的直线交双曲线 $Γ$ 于 $P, Q$ 两点.

(1)、若 $Γ$ 的离心率为2，求 $b$ .

(2)、若 $b = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, △ M A_{2} P$ 为等腰三角形，且点 $P$ 在第一象限，求点 $P$ 的坐标.

(3)、连接 $Q O$ （ $O$ 为坐标原点）并延长交 $Γ$ 于点 $R$ ，若 $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 1$ ，求 $b$ 的最大值.

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17、已知k、 $m \in R$ ，函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，直线l的方程为 $y = k x + m$ ，记集合 $A_{l} = {x ∣ f (x) \geq k x + m}$ ．

(1)、若 $f (x) = 2^{x}, k^{2} + {(m - 1)}^{2} = 0$ ，求集合 $A_{l}$ ；

(2)、若 $f (x) = - x^{4} + x^{3} + b x^{2}$ ，且存在实数k、m使得集合 $A_{l}$ 中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为 $R$ 的严格减函数，求证：“集合 $A_{l}$ 是单元素集合 ${t}$ ”是“直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (t, f (t))$ 处的切线”的充要条件．

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18、如图，在三棱锥P⁃ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC= $\frac{π}{3}$ .

(1)、证明：PB⊥AC；

(2)、若侧面PAB是等边三角形，点D满足 $\vec{P D}$ =λ $\vec{P A}$ （0<λ<1），过B，D两点作平面α，满足直线AC∥α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求λ的值.

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19、某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在 $[100, 150)$ ， $[150, 200)$ ， $[200, 250)$ ， $[250, 300)$ ， $[300, 350)$ ， $[350, 400]$ （单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：

(1)、求图中a的值；

(2)、现按分层抽样的方法从质量为 $[250, 300)$ ， $[300, 350)$ 的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在 $[300, 350)$ 内的概率；

(3)、某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售.
经销商提出如下两种收购方案：
方案A：所有水果以10元/千克收购；
方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？

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20、折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $a = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $S_{1} = \frac{5 \sin B \sin C}{2 \sin A}$ ；

(2)、若 $8 \sqrt{3} S_{1} \cdot \sin A = 10 \sqrt{3} \cos (B - C) + 5$ ，求 $\sin A$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $b = \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，现需要对纸片 $△ A B C$ 做一次折叠，使 $C$ 点与 $D$ 点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积 $S_{2}$ .

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