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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R, f (x - 1)$ 为偶函数， $f (x) - 1$ 是奇函数且 $f (1) = 0$ ，则 $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + \dots \dots + f (2025) =$ （）

A、2024 B、2025 C、2026 D、2027

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E, F$ 分别为 $P B, P D$ 的中点，若 $\vec{P G} = \frac{1}{2} \vec{G C}$ ，且 $\vec{A G} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ ，则 $x + y =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3、已知 $a, b$ 为正数， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $a b + a + b$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $7 + 4 \sqrt{3}$ D、 $8 + 4 \sqrt{3}$

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4、下列函数中，其图象与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于坐标原点对称的是（）

A、 $y = - 2^{- x}$ B、 $y = - {log}_{\frac{1}{2}} x$ C、 $y = - {log}_{2} x$ D、 $y = - 2^{x}$

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5、下列选项正确的是（）

A、 $A_{9}^{5} = 5 A_{8}^{4}$ B、 $A_{4}^{3} + A_{4}^{4} = A_{5}^{4}$ C、 $C_{13}^{7} = C_{13}^{5}$ D、 $3 C_{8}^{3} = 8 C_{7}^{2}$

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6、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - x)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [1, + \infty)$

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7、设全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{0, 3\}$ ，则 $∁_{U} A$ 中元素个数为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{10} =$ （）

A、10 B、8 C、0 D、 $- 6$

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9、下列四组函数中表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = x^{2}, g (x) = {(x + 1)}^{2}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = |x|$ D、 $f (x) = 0, g (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$

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10、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + \sqrt{3} sin x cos x$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的最小值.

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11、解下列关于x的不等式 $x^{2} - x - a （ a + 1 ） > 0$

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12、不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对 $A, B$ 两款不同 $A I$ 大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

甲学院
乙学院

使用
不使用
使用
不使用
A款
40人
80人
60人
20人
$B$ 款
70人
50人
30人
50人
假设所有学生对 $A, B$ 两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．

(1)、分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；

(2)、从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用 $A$ 款大模型的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 $B$ 款大模型的人数为 $Y_{1}$ ，其方差估计值为 $D (Y_{1})$ ，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 $B$ 款大模型的人数为 $Y_{2}$ ，其方差估计值为 $D (Y_{2})$ ，比较 $D (Y_{1})$ 与 $D (Y_{2})$ 的大小．

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13、若命题“ $\forall x \in R, x^{2} + a + 1 \neq 0$ ”的否定是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{x |- 1 < x < 6, x \in N\}$ ，则满足条件 $A ⫋ C \subseteq B$ 的集合C的个数为（）

A、3 B、5 C、7 D、15

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15、已知 $x < 0, 0 < y < 1$ ，则（）

A、 $x y^{2} < x y < x$ B、 $x y < x < x y^{2}$ C、 $x < x y < x y^{2}$ D、 $x y^{2} < x < x y$

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16、若全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |1 < x \leq 3\}, B = \{x |2 \leq x < 4\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{x |1 < x < 3\}$ B、 $\{x |2 \leq x < 3\}$ C、 $\{x |2 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 2\}$

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17、已知空间向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是.

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18、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ .故其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ .如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，N，M分别为AB， $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C$ .

(1)、当点A的曲率为 $\frac{2 π}{3}$ 时证明：
①CN⊥平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；
②平面 $A M B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .

(2)、当点A的曲率为 $\frac{π}{2}$ 时，若 $A A_{1} = 2 A B$ ，求二面角 $A - M B_{1} - A_{1}$ 的正弦值.

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19、如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A₁B₁的中点，F是BB₁上的动点，AB₁ ， DF交于点E，要使AB₁⊥平面C₁DF，则线段B₁F的长为．

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20、已知△ABC和点M满足 $\overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M C} = \overset{⇀}{0}$ .若存在实数m使得 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} = m \overset{⇀}{A M}$ 成立，则m＝.

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	甲学院		乙学院
	使用	不使用	使用	不使用
A款	40人	80人	60人	20人
$B$ 款	70人	50人	30人	50人