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相关试卷

1、若命题： $p : \exists x > - 1$ ， $x^{3} > 1$ .则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > - 1$ ， $x^{3} \leq 1$ B、 $\forall x \leq - 1$ ， $x^{3} \leq 1$ C、 $\forall x > - 1$ ， $x^{3} \leq 1$ D、 $\exists x \leq - 1$ ， $x^{3} \leq 1$

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2、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 1}{4 - x} \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1\}$

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3、定义在区间D上的函数 $y = f (x)$ ，若存在正数K，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq K | x_{1} - x_{2} |$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 在区间D上满足K-条件．若函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - 2 x + 2$ 在区间 $[\frac{1}{e}, 1]$ 上满足K-条件，则K的最小值为．

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4、已知函数 $f (x) = - x ln x + 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间以及极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{2}]$ 上的最值.

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5、若函数 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + a x (a \in R)$ 的图象存在对称轴，则 $f (x)$ 的最小值为．

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6、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n + 2}} b_{n}$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < \frac{5}{2}$ .

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7、从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{42}$

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且右焦点 $F_{2}$ 到上顶点的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过椭圆 $E$ 左焦点 $F_{1}$ ，且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ F_{2} M N$ 的面积．

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9、设抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y$ 的焦点为 $F$ ，且焦点到准线的距离为 $2$ ．过点 $C (0, 3)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $Γ$ 于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、直线 $y = - 3$ 上有一动点 $D$ ，其横坐标为 $x_{0}$ ．
（i）若 $x_{0} = - 1$ 且直线 $F D$ 经过 $△ F A B$ 的内心，求直线 $l$ 的方程；
（ii）是否存在点 $D$ ，使得对任意直线 $l$ 都满足 $F D$ 经过 $△ F A B$ 的内心且同时满足 $D A$ 、 $D B$ 同时与 $Γ$ 相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由．

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10、已知椭圆 $E$ 过 $A (1, \frac{3}{2}) ， B (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \sqrt{2})$ ，直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且 $Q$ 为线段 $M N$ 中点，设直线 $M N$ 和直线 $O Q$ （ $O$ 为坐标原点）的斜率分别为 $k$ 和 $k^{'}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、当直线 $M N$ 和直线 $O Q$ 的斜率分别为 $k$ 和 $k^{'}$ 都存在时，证明： $k \cdot k^{'}$ 为定值；

(3)、若 $O$ 关于 $Q$ 的对称点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，证明： $△ M O N$ 的面积为定值．

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11、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (3, - 1)$ 和 $B (2, 6)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M (4, 1)$ 作圆的切线，求切线方程．

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12、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长均为1，底面 $A B C D$ 为正方形， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求证： $\vec{B D} ⊥ \vec{A C_{1}}$ ；

(2)、求 $\vec{A C}$ 和 $\vec{A B_{1}}$ 夹角的余弦值．

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13、已知 $λ$ 为任意实数， $M$ 是圆 $C : {(x - t)}^{2} + {(y + t)}^{2} = 1 - 2 t^{2}$ 上任意一点，当 $λ$ 变化时， $M$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 2 + λ (2 x + y + 2) = 0$ 距离的取值范围是．

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14、设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 被直线 $y = x - 4$ 截得的弦 $A B$ 的长为 $\sqrt{34}$ ，则 $p =$ ．

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15、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{3} x$ ，则其离心率为．

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16、底面为直角梯形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ⊥ A D ， B C / / A D ， A B = B C = A A_{1} = 1$ ， $A D = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} (0 \leq x \leq 1 ， 0 \leq y \leq 1 ， 0 \leq z \leq 1)$ ．则下列结论正确的是（）

A、若 $y = 1$ ，则点 $P$ 在平面 $C D D_{1} C_{1}$ 上 B、若 $x = 2 y$ ，则点 $P$ 在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 上 C、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $P$ 到直线 $A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、若 $y = 0 ， x + z = 1$ 时，直线 $A P$ 与面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值取值范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{30}}{6}]$

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17、已知定圆 $O$ 和定点 $F$ ，点 $P$ 为圆 $O$ 上动点， $F P$ 的中垂线交直线 $O P$ 于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的轨迹可能为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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18、已知直线 $l_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ 和直线 $l_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $l_{2}$ 表示与 $x$ 轴平行或重合的直线，则 $A_{2} = 0$ B、若 $l_{2}$ 表示与 $x$ 轴平行或重合的直线，则 $B_{2} = 0$ C、若 $A_{1} B_{2} = A_{2} B_{1}$ ，则 $l_{1} // l_{2}$ D、若 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ ，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$

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19、如图，正方形 $A B C D$ 与正方形 $A B E F$ 所在平面互相垂直， $\vec{A M} = λ \vec{A C} (0 \leq λ \leq 1)$ ， $\vec{F N} = μ \vec{F B} (0 \leq μ \leq 1)$ ， $|A B| = 2$ ，则 $|M N|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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20、已知椭圆 $C : 9 x^{2} + 16 y^{2} = 2$ ， $M$ 为 $C$ 上的一动点，则点 $M$ 到直线 $l : 3 x - 4 y + 10 = 0$ 距离的最大值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、2 D、 $\frac{12}{5}$

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