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相关试卷

1、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (x)$ 的解析式为

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2、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ， $f (2) = 4$ ，则（）

A、 $f (3) = 6$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 为减函数 D、当 $x < - 2$ 时， $f (x) - 2 < f (2 x + 1)$

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3、若 $a, b, c, d \in R$ 则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a^{3} > b^{3}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b, c > d$ ，那么 $a - d > b - c$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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4、已知集合 $M = \{0, m + 1, m^{2} - 3\}$ ，且 $4 \in M$ ，则 $m$ 的值可以为（）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、-3 D、 $- \sqrt{7}$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{m}{x}, x > \frac{1}{2} \\ x^{2} - m x + 5, x \leq \frac{1}{2} \end{matrix}$ 满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{2}) - f (x_{1})] < 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[1, \frac{21}{10}]$ C、 $[\frac{21}{10}, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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6、函数 $f (x) = 2 |x| - \frac{1}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7、若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ ，则 $f (2)$ 等于（）

A、-2 B、2 C、-6 D、6

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \leq 1 \\ \frac{1}{x - 1}, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 3))$ （）

A、63 B、 $- \frac{14}{15}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9、已知关于 $x$ 的不等式 $a x + b > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 3}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} + a x > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < 0\}$ B、 $\{x |x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > 0\}$ C、 $\{x |0 < x < \frac{1}{3}\}$ D、 $\{x |x < 0$ 或 $x > \frac{1}{3} \}$

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10、函数 $f (x) = \sqrt{2 - x} + \frac{1}{x + 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 ${x ∣ x \neq - 1$ 且 $x \neq 2}$

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11、已知 $a \in R, b \in R$ ．则“ $a b > 1$ ”是“ $a^{2} + b^{2} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设集合 $A = \{x \in R ∣ x \leq 4\}, a = \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $\{a\} ⊈ A$ B、 $\{a\} \in A$ C、 $a \in A$ D、 $a \notin A$

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13、已知函数 $f (x) = 3 {log}_{2} x - 2 (x - 1)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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14、已知点 $A (2, 3), B (- 1, 7)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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15、如图，从椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点 $P$ （异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点 $F_{2}$ 上，经 $x$ 轴反射，反射光线过椭圆上的另一点 $Q$ ．

(1)、写出 $F_{2}$ 的坐标；

(2)、证明：直线 $P Q$ 过定点；

(3)、 $O$ 、 $F_{2}$ 、 $P$ 、 $Q$ 四点能否共圆？请说明理由．

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16、如图，点 $P$ ， $Q$ 都在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且直线 $P Q$ 与抛物线在 $P$ 处的切线相互垂直．

(1)、求抛物线的焦点到准线的距离；

(2)、设点 $P (t^{2}, 2 t)$ （ $t \neq 0$ ），
（ⅰ）用 $t$ 表示直线 $P Q$ 的方程；
（ⅱ）求 $|P Q|$ 的最小值．

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17、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $∠ B A C = ∠ A S C = ∠ S C B = 90 °$ ， $S A = S C = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为棱 $A B$ ， $S C$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥ S C$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值．

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18、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，不过原点 $O$ 的平面 $α$ 分别交坐标轴于点 $A (a, 0, 0)$ ， $B (0, b, 0)$ ， $C (0, 0, c)$ ，点 $D$ 是 $O$ 在 $α$ 上的射影．求证：

(1)、 $D$ 是 $△ A B C$ 的垂心；

(2)、 $O D = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}$ ．

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19、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ．

(1)、判断 $A$ 与 $B$ 是否相互独立，并说明理由；

(2)、求 $A$ 与 $B$ 都不发生的概率．

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20、已知 $A$ ， $B$ 分别为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左右顶点，点 $P$ 为 $C$ 上一动点， $O$ 为坐标原点，则 $\frac{|P O|}{|P A| + |P B|}$ 的最小值是．

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