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相关试卷

1、已知半径为 3 的扇形面积 $\frac{9}{2}$ ，则扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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2、设集合 $A = \{x | \frac{x}{x - 1} > 0\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2]$ C、 ${0} \cup (1, 2]$ D、 $(0, 2]$

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3、快到2026年元旦假期了， $2026^{\circ}$ 是（）角

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - a x + 4, x \geq 2, \\ (a - 1) x - 2, x < 2 \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 4]$ B、 $(1, 3]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[4, + \infty)$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，点 $T (2, - 3)$ 在双曲线 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A$ ， $B$ 为双曲线 $C$ 的左、右顶点，直线 $l : m y = x - 2$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A M$ ， $B N$ 分别与直线 $x = 2$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.
（i）当 $m = 1$ 时，求 $|M N|$ ；
（ii）求点 $P$ 与点 $Q$ 的纵坐标的比值.

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6、已知圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，半径为1的圆 $C_{2}$ 的圆心在第二象限，圆 $C_{2}$ 与两条坐标轴均相切.

(1)、求圆 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、求圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公切线的方程；

(3)、过点 $P (- 4, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C_{1}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l$ 与圆 $C_{2}$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，证明： $|A B| = 2 |D E|$ .

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上的点.

(1)、若点 $P$ 在第一象限内，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、若 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 是棱 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 所成的角的正弦值.

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9、已知直线 $l$ 的方程为 $3 x + 4 y - 1 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1} ⊥ l$ ，且直线 $l_{1}$ 在 $x$ 轴上的截距为 $- 1$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} ∥ l$ ，且直线 $l$ 与直线 $l_{2}$ 之间的距离为3，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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10、已知点 $P (m, n)$ 是曲线 $C : y = \sqrt{2 x - x^{2}} + 1$ 上的动点，则 $\frac{m + n + 1}{m + 1}$ 的取值范围为.

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11、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{n^{2}} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1$ 的离心率为.

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, n, - 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m n =$ .

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，过原点 $O$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ ， $Q$ 不在坐标轴上），记直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则（）

A、 $b = \sqrt{3}$ B、 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{3}$ C、记直线 $P Q$ 的斜率为 $k$ ，可得 $k_{1} + k_{2} = 2 k$ D、记椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ，可得 $△ P Q F$ 的周长的取值范围为 $(4 + 2 \sqrt{3}, 8)$

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则（）

A、若直线 $l$ 是平面 $P A D$ 和平面 $P B C$ 的交线，则 $B C / / l$ B、直线 $A C$ 与 $B P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ D、点 $D$ 到平面 $P A B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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15、已知直线 $l : 2 x + 2 y + 3 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、直线 $l$ 不经过第一象限 D、直线 $l$ 的一个方向向量的坐标为 $(1, 1)$

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16、如图，在四棱锥 $D - O A B C$ 中，底面 $O A B C$ 是平行四边形， $∠ A O C = ∠ A O D = ∠ C O D = \frac{π}{3}$ ， $O A = O C = O D = 1$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 的中点，过 $O$ ， $E$ ， $F$ 三点的平面与 $B D$ 相交于点 $G$ ，则 $O G =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{3}$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1 (m > 0)$ 的虚半轴长为 $\sqrt{5}$ ， $F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，点 $P$ 为双曲线C的右支上的动点，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 3)$ ，则 $|P F| + |P A|$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、 $\frac{19}{2}$ D、10

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18、已知点 $P_{0} (2, - 1, 1)$ 在平面 $α$ 内，向量 $\vec{n} = (1, 1, - 2)$ 为平面 $α$ 的一个法向量，则下列各点不在平面 $α$ 内的是（）

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(0, 1, 1)$ C、 $(- 1, 2, 2)$ D、 $(1, - 2, 0)$

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19、“曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示椭圆”是“ $0 < m < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、点 $P$ 为直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : 2 x + y - 4 = 0$ 的交点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的方程为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = - \frac{1}{2} x$ D、 $y = - 2 x$

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