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相关试卷

1、在空间直角坐标系中，点 $P (4, - 2, 1)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 4, 2, - 1)$ B、 $(- 4, - 2, 1)$ C、 $(4, 2, - 1)$ D、 $(4, - 2, - 1)$

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2、椭圆 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{15}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3、在同一平面直角坐标系内，函数 $y = f (x)$ 及其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 $(0, 1)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最大值为1 B、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最小值为1 C、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最小值为1

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4、俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设 $f (x)$ 是定义在 $[m, n]$ 上的连续函数，称 $E = max_{m \leq x \leq n} |f (x) - (a x + b)|$ 为 $f (x)$ 与直线 $g (x) = a x + b$ 的偏差.若存在 $x_{0} \in [m, n]$ 使得 $|f (x_{0}) - g (x_{0})| = E$ ，则称 $x_{0}$ 为直线 $g (x)$ 的偏差点.记 $A = \{g (x) = a x + b ∣ a, b \in R\}$ ，若存在 $g_{0} (x) \in A$ 使得 $max_{m \leq x \leq n} |f (x) - g_{0} (x)| = min_{a, b \in R} max_{m \leq x \leq n} |f (x) - g (x)|$ 则称 $g_{0} (x)$ 为 $f (x)$ 在切比雪夫意义下的最佳逼近直线.

(1)、函数 $f (x) = x^{2}$ ， $x \in [- 1, 2]$ ， $g (x) = x + 1$ ，求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的偏差以及偏差点；

(2)、函数 $f (x) = 3 x + \frac{4}{x}$ ， $x \in [1, 4]$ ， $g (x) = 2 x + b$ ，求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的偏差的最小值，并求出取得最小值时 $b$ 的值；

(3)、证明：直线 $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}$ 是函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 在 $x \in [0, 4]$ 上的最佳逼近直线.

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5、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ ，若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且当 $x \neq 0$ 时 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值，并写出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意的 $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$ 都有 $f (x) + f (3 x - m) \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可近似地表示为 $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x, x \in [120, 144) \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, x \in [144, 500] \end{array}$ ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

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7、已知函数 $f (x) = (a^{2} - 2 a - 2) a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）过点（0，1）.

(1)、求 $a$ 的值，并写出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $F (x) = f (x) - \frac{1}{f (x)}$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、若 $f (x) = h (x) + t (x)$ ，且 $h (x)$ 为奇函数， $t (x)$ 为偶函数，写出 $h (x)$ 的解析式（无需证明）.

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8、设 $U = R$ ， $A = {x ∣ 2 < x < 4}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} - 4 x + a \leq 0, a \in R\}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x - a + b$ ， $x \in [0, m]$ ，对任意 $2 b \geq a > 0$ ，不等式 $f (x) \leq (2 b - a) (x + 1)$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x < 0 \\ x^{2} - 2 x + 2, x \geq 0 \end{array}$ ，若当 $x \in [a, b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 10$ ，则 $b - a$ 的最大值是.

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11、计算 $8^{\frac{2}{3}} + 2 lg 2 + lg 25 =$ .

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12、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，对任意实数 $x$ ， $y$ 都有 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (2) = - 2$ ，则以下结论一定正确的有（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称 D、 $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) = 0$

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13、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 4$ ，则（）

A、 $b > 1$ B、 $a + b \geq \frac{9}{4}$ C、 $a b \leq 1$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} \geq 8$

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14、下列各选项给出的数学命题中，正确的有（）

A、集合 $A = \{x | y = \sqrt{x^{2} + 1}\}$ ， $B = \{y | y = \sqrt{x^{2} + 1}\}$ 表示相等集合 B、若 $y = f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = x + 2$ ，则 $f (x) = x + 1$ C、函数 $y = \frac{x - 2}{x + 1} (x \geq 1)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2}, 1)$ D、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 2, 3)$ ，则不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + m (e^{x + 1} + e^{- x - 1})$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点，则 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (4 a - 1) \cdot 2^{x}, x < 1 \\ x^{2} - a x + 6, x \geq 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4}, 1]$ B、 $(\frac{1}{4}, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[1, 2]$

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17、使得不等式 $2^{m} > 2^{n}$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $\frac{1}{n} > \frac{1}{m}$ B、 $\sqrt{m} > \sqrt{n}$ C、 $m^{2} > n^{2}$ D、 $m^{3} > n^{3}$

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18、函数 $f (x) = 2^{|x + 1|}$ 的图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x < 3 \\ f (x - 3), x \geq 3 \end{array}$ ，则 $f (7) =$ （）

A、16 B、8 C、2 D、-2

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20、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 > 0$

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