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相关试卷

1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足 $b \cos C + c \cos B = \sqrt{2} a \cos C$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ， $S_{△ A B C} = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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2、已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m^{2} - 4 m + 3) i, m \in R$ .

(1)、若m = 0，求|z|；

(2)、若z是纯虚数，求m的值；

(3)、若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围.

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ， $\vec{c} = (2, y)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求x与y的值；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角的大小.

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4、半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段 $D E$ ， $B C$ 上，则 $F M + M N + A N$ 的最小值为.

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5、在△ $A B C$ 中， $B C = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ，且 $B = \frac{π}{6}$ ，则 $A =$ ．

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6、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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7、已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，且 $z_{1} \neq 0$ ，则 $z_{2} = z_{3}$

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8、对于 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A > C$ ，则 $sin A > \sin C$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $a = 4, b = 5, C = 60^{\circ}$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个

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9、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 B、直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线 C、直线 $M N$ 与 $A C$ 是相交直线 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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10、如图，在直角梯形ABCD中， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = 4$ ， $C D = 2$ ， M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若 $\overset{⃑}{B P} = λ \overset{⃑}{B M} + μ \overset{⃑}{B C}$ ，且 $λ + 2 μ = 1$ ，则 $\overset{⃑}{P M} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最小值是（　　）

A、 $- 7$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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11、如图，三棱锥 $S － A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $∠ A C B = 30 °$ ， $A C = 2 A B = 2 \sqrt{3}$ ， $S A = 1$ .则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\frac{32}{3} π$ B、 $13 π$ C、 $\frac{52 \sqrt{13}}{3} π$ D、 $\frac{13 \sqrt{13}}{6} π$

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12、小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 $15 (\sqrt{3} - 1)$ m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、20 m B、30 m C、20 $\sqrt{3}$ m D、30 $\sqrt{3}$ m

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13、在△ABC中，O为BC的中点，若 $\vec{M O} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则动点M的轨迹必通过△ABC的（）

A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a : b : c = 5 : 7 : 8$ ，则 $△ A B C$ 中角B的大小是（）

A、 $135^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $90^{\circ}$ D、 $60^{\circ}$

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15、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} / / B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4 ， A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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16、若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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17、下列命题正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} ∥ \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ B、向量 $\overset{⃑}{A B}$ 与向量 $\overset{⃑}{B A}$ 的长度相等 C、若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D、若 $|\overset{⃑}{a}| = 7, |\overset{⃑}{b}| = 3$ ，则 $\overset{⃑}{a} > \overset{⃑}{b}$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A B = 12$ ， $A D = 10$ ， $B D = 8$ .

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、若 $E$ 是 $A D$ 延长线上一点，当 $△ B D E$ 与 $△ C D E$ 各边长均为整数时，求图中与 $△ B C E$ 相似的三角形的个数.

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19、已知函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{4}$ ，其中 $\vec{m} = (\sin (x + \frac{π}{3}), - 1)$ ， $\vec{n} = (\sin x, \sin^{2} x)$ ．

(1)、当 $x \in [0, \frac{π}{2})$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若存在 $x \in [0, t]$ ，使得 $4 f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 成立，求t的取值范围．

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20、一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个．

(1)、求有放回地摸球第二次摸到白球的概率；

(2)、求不放回地摸球第二次摸到白球的概率；

(3)、求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率；

(4)、求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率．

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