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相关试卷

1、已知边长为2的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，以 $A D$ 为折痕进行折叠，使折后的 $∠ B D C = \frac{π}{2}$ ，则过 $A, B, C, D$ 四点的球的体积为.

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2、每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为.

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3、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ ．

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4、已知事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = 0.2$ ， $P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的有（）

A、若A与B互斥，则 $P (A + B) = 0.6$ B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = 0.4$ C、若 $P (A \bar{B}) = 0.12$ ，则A与B相互独立 D、若A与B相互独立，则 $P (A + B) = 0.52$

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5、为了解“全民齐参与城市更美丽”的志愿服务情况，随机抽取了100名志愿者进行问卷调查，将这100名志愿者问卷调查的得分按 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a = 0.015$ B、估计这100名志愿者问卷调查得分的 $90 %$ 分位数为85 C、这100名志愿者问卷调查得分的平均数为75（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） D、若采用分层随机抽样从得分在 $[50, 60)$ ， $[90, 100]$ 内的志愿者中抽取8人，则抽取的这8名志愿者得分在 $[50, 60)$ 内的人数为6

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6、欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + isin θ$ 把自然对数的底数 $e$ ､虚数单位 $i$ ､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数 $z$ 满足 $z \cdot e^{i \frac{π}{3}} = 2$ ，则 $|z - e^{i θ}|$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 9]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 5]$ D、 $[3, 5]$

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7、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A O}| = |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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8、设 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 为复数，下列命题一定成立的是（）

A、如果 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，那么 $z_{1} = z_{2} = 0$ B、如果 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，那么 $z_{1} = \pm z_{2}$ C、如果 $|z_{1}| \leq a$ ， $a$ 是正实数，那么 $- a \leq z_{1} \leq a$ D、如果 $z = \bar{z}$ ，那么 $z$ 为实数

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9、2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（）

A、 $x = 88, y = 90$ B、 $x = 83, y = 90$ C、 $x = 83, y = 85$ D、 $x = 88, y = 85$

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10、样本中共有 $5$ 个个体，其值分别为 $a$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ，若该样本的中位数为 $2$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[1, 2]$

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11、已知 $α, β$ 是两个不同的平面， $m, n$ 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A、若 $m$ 上有两点到平面 $α$ 距离相等，则 $m$ $/ /$ $α$ B、若 $α$ $/ /$ $β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 是异面直线 C、若 $α$ $/ /$ $β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 没有公共点 D、若 $α \cap β = n, m \subset α$ ，则 $m$ 与 $β$ 一定相交

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $- \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$

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13、设 $z = 2 - i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $- i$ D、 $i$

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14、一个质点在随机外力的作用下，从平面直角坐标系的原点 $O$ 出发，每隔1秒等可能地向上､向下､向左或向右移动一个单位.

(1)、共移动两次，求质点与原点距离的分布列和数学期望；

(2)、分别求移动4次和移动6次质点回到原点的概率；

(3)、若共移动 $N$ 次（ $N$ 大于0，且 $N$ 为偶数），求证：质点回到原点的概率为 ${(C_{N}^{\frac{N}{2}} \times \frac{1}{2^{N}})}^{2}$ .

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15、已知 $M (- \sqrt{3}, 0), N (\sqrt{3}, 0)$ ，平面内动点 $P$ 满足直线 $P M, P N$ 的斜率之积为 $- \frac{2}{3}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 的直线交 $P$ 的轨迹 $E$ 于 $A, B$ 两点，以 $O A, O B$ 为邻边作平行四边形 $O A C B$ （ $O$ 为坐标原点），若 $C$ 恰为轨迹 $E$ 上一点，求四边形 $O A C B$ 的面积.

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16、如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $E, F$ 分别是棱 $A A_{1}, B B_{1}$ 上的点， $A_{1} E = B F = \frac{1}{3} A A_{1}$ .

(1)、求证：直线 $M N$ $∥$ 平面 $C E F$ ；

(2)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为正三棱柱，求平面 $C E F$ 和平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角的大小.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(sin A - \sqrt{3} sin B) a = (c - b) (sin C + sin B)$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若边 $c = 2$ ，边 $A B$ 的中点为 $D$ ，求中线 $C D$ 长的最大值.

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18、下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第 $n$ 个数从上到下形成以 $2^{n - 1}$ 为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第 $n$ 行 $(n \in N^{*})$ 所有数据的和 $S_{n} =$ .

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19、抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上的动点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的距离最短时， $P$ 到 $C$ 的焦点距离为.

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20、已知 ${(x^{3} - x + 1)}^{n} {(x + \frac{1}{x})}^{n + 2}$ 的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为.

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