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相关试卷

1、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $\vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\vec{a}$ 的坐标：

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，求 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量的模．

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2、实数 $m$ 分别取什么数值时，复数 $z = (m^{2} + 5 m + 6) + (m^{2} - 2 m - 15) i$

(1)、为纯虚数；

(2)、对应点在第四象限．

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3、在 $Δ A B C$ 中， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的最大值为.

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4、若数据 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{6}$ 的方差为3，则 $2 (k_{1} - 3), 2 (k_{2} - 3), \dots, 2 (k_{6} - 3)$ 的方差为．

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5、圆柱的底面积为 $12 {cm}^{2}$ ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积为 ${cm}^{2}$ ．

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6、已知 $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 为圆锥底面圆的圆心， $M$ 为线段 $P O$ 的中点， $A D$ 为底面圆的直径， $△ A B C$ 是底面圆的内接正三角形， $A P = A B = 2 \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $B D / / O C$ B、 $A M$ ⊥平面 $M B C$ C、在圆锥侧面上，点A到 $P B$ 中点的最短距离为3 D、圆锥内切球的表面积为 $16 (2 - \sqrt{3}) π$

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $b cos C + c cos B = b,$ 则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $a \sin A + b \sin B > c \sin C$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形 D、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形

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8、幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用 $[0, 10]$ 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，6，7，8，9，则（）

A、这组数据的极差是6 B、这组数据的平均数是5 C、这组数据的第70%分位数是7 D、这组数据的方差是3.5

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9、莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理．该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $|A B| = |A C|$ ， $|B C| = 8$ ， $△ D E F$ 是 $△ A B C$ 的莫利正三角形，则 $△ D E F$ 的边长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 - 2 \sqrt{3}$ C、 $8 - 4 \sqrt{3}$ D、 $16 - 8 \sqrt{3}$

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10、由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为 $30 °$ ，腰长为 $2$ ，如图，那么它在原平面图形中，顶点 $B'$ 到 $x$ 轴的距离是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）

A、 $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ ， $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{3}{10}$ ， $\frac{2}{9}$

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12、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 、 $A A_{1}$ 、 $A D$ 的中点，则图中与直线 $D C_{1}$ 异面的直线是（）

A、 $E F$ B、 $A D_{1}$ C、 $B_{1} G$ D、 $B C_{1}$

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13、如图，棱锥 $P - A B C D$ 的高 $P O = 3$ ，截面 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 平行于底面 $A B C D, P O$ 与截面交于点 $O^{'}$ ，且 $O O^{'} = 2$ .若四边形 $A B C D$ 的面积为36，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为（）

A、12 B、16 C、4 D、8

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14、点 $O$ 在 $△ A B C$ 的内部，且满足： $\vec{A O} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A O B$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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15、下列关于向量的描述正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ C、任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D、平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

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16、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、求 $g (x) = cos (x + \frac{π}{6}) - 2 cos (x + α) (α \in R)$ 的“相伴特征向量”；

(2)、已知 $A (- 2, 3)$ ， $B (2, 6)$ ， $\vec{O T} = (- \sqrt{3}, 1)$ 为 $h (x) = m sin (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；

(3)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，若当 $x \in [0, \frac{11 π}{12}]$ 时不等式 $f (x) + k f (x + \frac{π}{2}) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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17、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.

(1)、设 $\vec{O P} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，求 $|\vec{O P}|$ ；

(2)、已知 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(3)、若 $\vec{m} = (2, 4)$ ， $\vec{n} = (- 6, 3)$ ， $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角记为 $θ$ ，求 $θ$ 的余弦值.

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18、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是棱 $C D$ ， $D D_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $P C //$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求直线 $P M$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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19、甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求

(1)、甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率；

(2)、“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.

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20、在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\sqrt{3} c = \sqrt{3} b \cos A + a \sin B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、当 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ 时，求边长 $c$ 和 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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