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相关试卷

1、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，则（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ ，或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同或相反 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行 D、存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$

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2、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $45 ^{\circ}$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序实数对 $(x ， y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标.已知 $\vec{O A} = 2 \vec{e_{1}} + \sqrt{2} \vec{e_{2}}$ ， $\vec{O B} = - 2 \vec{e_{1}} + 2 \sqrt{2} \vec{e_{2}}$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{10} + 2$

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3、已知 $sin(α - β) \sin β - \cos (α - β) \cos β = \frac{4}{5}$ ， $α$ 是第三象限角，则 $\tan (α + \frac{5π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、 $- 7$

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4、已知平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，直线 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $a // b$ ， $a / / α$ ，则 $b // α$ B、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = a$ ，则 $a ⊥ γ$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α // β$ D、若 $a / / α$ ， $b // α$ ， $c ⊥ a$ ， $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ B、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$

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6、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c \sin C - a \sin A = 4 b \sin B$ ， $\cos C = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

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7、已知复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，则复平面内点 $Z$ 满足 $|z - (2 + 3 i)| = 2$ 的图形的面积是（）

A、2 B、4 C、 $2 π$ D、 $4 π$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、4 C、1 D、 $- 4$

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9、已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， $∠ A P B = 120 °$ ， $P A = 2$ ，点C在底面圆周上，且二面角 $P - A C - O$ 为45°，则（）．

A、该圆锥的体积为 $π$ B、该圆锥的侧面积为 $4 \sqrt{3} π$ C、 $A C = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ P A C$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{2 ln x + a}{x}, a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上单调性；

(3)、若 $f (x) \leq x e^{x} + \frac{1}{x} - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 $\frac{4}{5}$ ，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 $\frac{3}{5}$ .记甲乙两人的答题总次数为 $n (n \geq 2)$ .

(1)、求P；

(2)、当 $n = 2$ 时，求甲得分X的分布列及数学期望；

(3)、若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 $P_{n} (A)$ ，证明： $\frac{4}{15} \leq P_{2} (A) + P_{3} (A) + \dots + P_{n} (A) < \frac{2}{3}$ .

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12、某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750 $m^{2}$ 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为 $1 m$ 的小路，中间 $A, B, C$ 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中 $B, C$ 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为 $x m$ ，鲜花种植的总面积为 $S m^{2}$ .

(1)、用含有 $x$ 的代数式表示 $a$ ，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x$ 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？

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13、为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．

(1)、现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记 $ξ$ 表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 $\frac{3}{4}$ ，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数 $η$ 超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及 $η$ 的方差；

(3)、若技术攻坚后新设备生产的零件直径 $X \sim N (10, 0.04)$ ，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (|X - μ| \leq σ) \approx 0.6827$ ， $P (|X - μ| \leq 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (|X - μ| \leq 3 σ) \approx 0.9973$ ， ${0.97725}^{10} \approx 0.7944$ ， ${0.9545}^{10} \approx 0.6277$ ．

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14、已知集合 $A = \{x |x^{2} - x - 6 > 0\}$ ， $B = \{x |lg x < 1\}$ .

(1)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、设集合 $C = \{x |a - 1 < x < 2 a - 3\}$ ，若 $A \cup C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知不等式 $a x - \ln x + \frac{x}{e^{a x}} > 1$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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16、设函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) - f (2 - x) = 0$ .当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = ln x + 2 x - 1$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, \frac{9}{2}]$ 上有个零点.

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17、已知 ${(2 x - 1)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $2 a_{1} + 3 a_{2} + 4 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2025 a_{2024} =$ .

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{2} x, x > 0 \\ {(\frac{1}{4})}^{x - 1}, x \leq 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (\frac{\sqrt{2}}{2})) =$ .

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19、在探究 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将 ${(1 + x + x^{2})}^{n}$ 的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用 $D_{n}^{m - 1}$ 表示，即 ${(1 + x + x^{2})}^{n}$ 展开式中 $x^{m}$ 的系数为 $D_{n}^{m}$ ，则（）

A、 $D_{5}^{3} = 15$ B、 $D_{n}^{2} = \frac{n (n + 1)}{2}$ C、 $D_{n + 1}^{k + 1} = D_{n}^{k - 1} + D_{n}^{k} + D_{n}^{k + 1} (1 \leq k \leq 2 n - 1, k \in N^{*})$ D、 $D_{2024}^{0} C_{2024}^{0} - D_{2024}^{1} C_{2024}^{1} + D_{2024}^{2} C_{2024}^{2} - D_{2024}^{3} C_{2024}^{3} + \dots + D_{2024}^{2024} C_{2024}^{2024} = 0$

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20、函数 $f (x) = [x]$ 称为取整函数，也称高斯函数，其中 $[x]$ 表示不大于实数 $x$ 的最大整数，例如： $[- 3.5]= - 4 ，[2.1] = 2$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = [x]$ 为偶函数 B、函数 $y = x - [x] (x \in R)$ 的值域为 $[0, 1)$ C、若 $[x] = 2$ ，则 $x + \frac{1}{2 (x - 1)}$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ D、不等式 ${[x]}^{2} - [x] \leq 2$ 的解集为 ${x ∣ - 1 \leq x < 3}$

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