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相关试卷

1、在△ $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $\sin A = \sqrt{3} \sin C$ ， $B = 30^{\circ}$ ， $b = 2$ ，则△ $A B C$ 的面积是．

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2、复数 $1 - 2 i$ 与复数 $3 - i$ 在复平面内对应的点分别为 $A, B$ ，若 $O$ 为坐标原点，则 $∠ A O B$ 的大小为.

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (m, 1)$ ，若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $m =$ .

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4、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C \cap B D = O$ ， E是线段 $B_{1} C$ （含端点）上的一动点，
① $O E ⊥ B D_{1}$ ；
② $O E //$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；
③三棱锥 $A_{1} - B D E$ 的体积为定值；
④ $O E$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的最大角为 $90 °$ .
上述命题中正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $D (5, 0) ， B (2, A) ，$ $\vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则（）

A、 $f (x) = 2 \sqrt{10} sin (\frac{π}{6} x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sqrt{10} sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \sqrt{10} sin (\frac{π}{6} x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sqrt{10} sin (\frac{π}{6} x + \frac{π}{3})$

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6、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、0或 $- \frac{1}{2}$ D、0或 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、已知 $f (x) = |\tan (x + φ)|$ ，则“函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称”是“ $φ = k π (k \in Z)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、关于 $θ$ ，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲： $θ$ 是第三象限角，乙： $\tan θ = \frac{1}{2}$ .丙： $\tan 2 θ > 1$ ，丁： $\tan (θ - π)$ 不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b \sin C = c \cos \frac{B}{2}$ ，且 $| \vec{C A} + \vec{C B} | = | \vec{C A} - \vec{C B} |$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、已知两条不同的直线 $m, n$ ，两个不同的平面 $α, β$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α, n ⊥ m$ ，则 $n / / α$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = n, n ⊥ m$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $α \cap β = n, m \subset α, m / / β$ ，则 $m / / n$

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11、已知函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ ，满足 $f (\frac{π}{4}) = f (\frac{3 π}{4})$ ，且在 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ 内恰有一个最大值点和一个最小值点，则 $ω$ 的值为( )

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、下列函数中，最小正周期为 $π$ 的偶函数是（）

A、 $y = |\cos x|$ B、 $y = 2 \sin x$ C、 $y = |\sin 2 x|$ D、 $y = \cos x$

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13、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = {(2 + i)}^{2},$ $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $|\bar{z} + 2 i| =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、5 C、 $3 \sqrt{5}$ D、4

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥ A C$ ， $B D ⊥ P C$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

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15、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos A - a \cos B = c - a$ ， $a = 2$ ， $\sin C = \frac{1}{7}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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16、克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理.定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 6$ ， $A D = 2 C D$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $B D$ 的最大值为.

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17、如图，一块边长为8的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积为.

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18、复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ .

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19、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ A D E$ 和 $△ C B F$ 均为等腰直角三角形， $∠ A D E = ∠ C B F = 90 ^{\circ}$ ，平面 $A D E$ 、平面 $C B F$ 均与平面 $A B C D$ 垂直.动点 $G$ 在线段 $A F$ 上，则（）

A、 $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ B、多面体 $A B C D E F$ 的体积为 $\frac{16}{3}$ C、 $△ C G D$ 的周长的最小值为 $\sqrt{12 - 4 \sqrt{6}} + 2$ D、直线 $D F$ 与平面 $A C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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20、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \sqrt{3}$ D、函数 $y = f (x - \frac{π}{6})$ 为偶函数

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