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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = | ln x | + b$ ，关于以下四个结论：
①函数 $f (x)$ 的值域为 $[b, + \infty)$ ；
②当 $a > b$ 时，方程 $f (x) = a$ 有两个不等实根；
③当 $b = 0$ ， $a > 0$ 时，设方程 $f (x) = a$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 为定值；
④当 $b = 0$ ， $a > 0$ 时，设方程 $f (x + 1) = a$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = 0$ ．
则所有正确结论的序号为．

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2、已知命题 $P$ ：函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x ^{2} + a, x \leq 0 \\ \sqrt{x} + b, x > 0 \end{array}$ 为 $R$ 上的增函数．能说明 $P$ 为假命题的一组 $a$ ， $b$ 的值为 $a =$ ， $b =$ ．

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3、某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布 $N (90, 15^{2})$ ，则成绩位于 $[90, 105]$ 的人数大约是．
（参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ）

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4、不等式 $x ^{2} - x - 12 > 0$ 的解集是．

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5、函数 $f (x) = lg x + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x > 0 \\ x ^{2} + 2 x, x \leq 0 \end{array}$ ；若方程 $f (x) = a$ 恰有三个根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e})$ B、 $[0, \frac{1}{e}]$ C、 $(- 1, \frac{1}{e})$ D、 $(0, \frac{1}{e}) \cup {- 1}$

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7、设函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线的斜率为10，则 $f^{'} (- 2) + f (- 2) =$ （）

A、 $- 16$ B、 $- 6$ C、6 D、16

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8、某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工 $A$ 不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（）

A、360种 B、300种 C、180种 D、120种

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9、有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为 $4 %$ ，第2台加工的次品率为 $5 %$ ，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为 $40 %$ ， $60 %$ ，现任取一件零件，则它是次品的概率为（）

A、0.044 B、0.046 C、0.050 D、0.090

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10、在 ${(x - 2)}^{10}$ 的展开式中， $x^{6}$ 的系数为（）

A、 $- 64 C_{10}^{6}$ B、 $64 C_{10}^{6}$ C、 $- 16 C_{10}^{4}$ D、 $16 C_{10}^{4}$

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11、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a b = 1$ ”是“ $a + b \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设 $A$ ， $B$ 为两个随机事件，若 $P (B | A) = \frac{1}{2}$ ， $P (A) = \frac{2}{5}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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13、已知 $a = lg \frac{1}{2}$ ， $b = 3^{0.1}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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14、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ B、 $f (x) = (x - 1) ^{2}$ C、 $f (x) = lg x$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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15、已知全集 $U = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $A = {x \in Z | x^{2} < 4}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 3, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 3, - 2, 2, 3\}$

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \sin B + c \sin C = (2 c \sin B + a) \sin A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $a = 2$ ；
①求 $△ A B C$ 面积的最大值；
②延长 $B C$ 至 $D$ ，使得 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ，设 $△ A C D$ 外接圆的圆心为 $O$ ，求 $\vec{C O} \cdot \vec{A D}$ 的最小值.

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17、某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{5}$ ．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．

(1)、甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；

(2)、求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；

(3)、求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．

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18、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ．

(1)、证明： $B_{1} D_{1} ⊥ A C_{1}$ ．

(2)、求二面角 $B_{1} - A C - D$ 的余弦值．

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19、某校高一年级共 $1000$ 名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分（满分 $100$ 分）进行统计，按照 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成 $5$ 组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、试估计本次数学考试分数的中位数（保留一位小数）；

(3)、试估计本次数学考试分数不低于 $80$ 的人数．

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20、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{c}| = 3$ ．

(1)、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{a}$ ，求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{b} - 2 k \vec{c}$ 垂直，求 $k$ 的值．

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