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相关试卷

1、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 8 n$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、写出 $a_{2}, a_{3}$ ，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \{\begin{matrix} a_{n}, n 为奇数, \\ 2^{\frac{a_{n} + 1}{4}}, n 为偶数, \end{matrix}$ 求 $b_{1} b_{2} + b_{3} b_{4} + b_{5} b_{6} + \dots + b_{13} b_{14}$ .

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2、某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： $[80, 90), [90, 100), [100, 110), [110, 120), [120, 130), [130, 140), [140, 150]$ .其中 $a - b = b - c$ ，且 $c = 2 a$ .该50名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
频数
6
9
20
10
5

(1)、根据频率分布直方图，求 $a, b, c$ 的值，并估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；

(2)、若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b = 2, c = 2 cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球 $A, B, C$ （小球材质密度 $> 1 \times 10^{3} kg / m^{3}$ ），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 $C$ ，若圆柱底面半径为 $5 + 2 \sqrt{5}$ ，则球 $A$ 的体积为；圆柱的侧面积与球 $B$ 的表面积的比值为.

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5、如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将 $A, B, C, D, E, F$ 共 $6$ 名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱要安排 $4$ 人，问天实验舱与梦天实验舱都各要安排 $1$ 人，且 $A$ 不在问天实验舱，则不同的安排方案共有种.（用数字作答）

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于 $y$ 轴对称.若 $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\cos (α - β) =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有一个零点 B、 $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{5}{3}$ C、 $f (x)$ 的对称中心为 $(0, 1)$ D、直线 $y = - x - 1$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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8、已知函数 $f (x) = sin 3 x + \sqrt{3} cos 3 x + \sqrt{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 关于点 $(- \frac{π}{9}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{18}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{18}]$ 上单调递减

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9、设方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数范围内的两根分别为 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列关于 $z_{1}, z_{2}$ 的说法正确的有（）

A、 $z_{1}^{2} = z_{2}$ B、 $z_{1}^{3} - z_{2}^{3} = 0$ C、 $z_{1}^{2} - z_{2}^{2} = 0$ D、 $z_{1} z_{2} = 1$

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10、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1, P$ 为直线 $l : x + y + 4 = 0$ 上的一个动点，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A, B$ ，若直线 $P A, P B$ 关于直线 $l$ 对称，则 $\cos ∠ A P B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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11、在空间中，“经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，法向量为 $\vec{e} = (A, B, C)$ 的平面的方程（即平面上任意一点的坐标 $(x, y, z)$ 满足的关系式）为： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ".用此方法求得平面 $α$ 和平面 $β$ 的方程，化简后的结果为分别 $x - y - z = 1$ 和 $x - 2 y + z = 6$ ，则这两平面所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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12、大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = k {log}_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为 $0.5 m / s$ 时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为 $1.5 m / s$ 时耗氧量的单位数为（）

A、900 B、1200 C、2700 D、8100

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13、“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（）

A、720种 B、360种 C、320种 D、288种

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14、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (2, t) (t > 0)$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 4$ 或1 B、 $- 4$ C、1 D、2

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15、设 $x \in R$ ，则“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 2 x > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、设集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 1}, B = \{x ∣ {log}_{2} x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x \leq 1}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 1}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(2 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上， $F_{1} F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点， $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 上一点 $M$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，若 $∠ F_{1} M F_{2}$ 为钝角，求横坐标 $x_{0}$ 的取值范围；

(3)、过点 $B (5, 2)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于不同的两点D，E(D，E与 $A$ 不重合)，直线 $A D, A E$ 分别与直线 $x = 5$ 交于P，Q两点，求 $|B P| \cdot |B Q|$ 的值.

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18、设函数 $f (x) = a x^{2}, g (x) = \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，
①求函数 $F (x) = g (x) - f (x) + x$ 的单调区间；
②对于 $\forall x \in [1, + \infty), x g (x) + f (x) \geq (m + 1) x - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、当 $a > 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有两条公切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，通过甲公司的测试后选择签约的概率为 $\frac{3}{4}$ ，通过乙公司的测试后选择签约的概率为 $\frac{3}{5}$ ，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．

(1)、求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；

(2)、设小王获得的年薪为 $X$ （单位：万元），求 $X$ 的分布列及其数学期望．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A = A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ .

(1)、求证：直线 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若点 $M$ 为线段 $P C$ 的中点，求二面角 $C - M B - A$ 的正弦值.

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分组	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	6	9	20	10	5