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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} + b_{n} = 2 n + 1$ ， $a_{n} b_{n} = 2^{- n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{b_{n}}$ ．

(1)、判断数列 $\{c_{n}\}$ 的单调性；

(2)、求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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2、党的二十大报告提出：“全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线，确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.”粮食事关国运民生，粮食安全是“国之大者”，与社会和谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关，粮稳则天下安.现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期(单位：天)，按从小到大排序结果如下：
93 97 98 101 103 104 107 108 109 110 112 116 121 124 126
已知这组样本数据的 $10 %$ 分位数、 $80 %$ 分位数分别为 $a, b$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间 $(a, b)$ 的稻株记为“高产稻株”，其余记为“低产稻株”.现从该品种水稻中随机抽取3株，设其中高产稻株有 $X$ 株，求 $X$ 的分布列与数学期望（以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率）.

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 经过点 $F$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点， $M, N$ 两点在 $C$ 的准线上的射影分别为 $A, B$ ，且 $△ M A F$ 的面积是 $△ N B F$ 的面积的4倍，若 $y$ 轴被以 $M N$ 为直径的圆截得的弦长为 $\sqrt{7}$ ，则 $p$ 的值为．

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4、在 $Δ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 4, B = 45^{°},$ 若 $(a - b) (\sin A + \sin B) = (c - b) \sin C,$ 则A= ， b=.

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5、总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为.
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181

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6、一名射击运动员射击一次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各次射击互不影响．若他连续射击两次，则下列说法正确的是（）

A、事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥 B、事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立 C、事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立 D、记 $X$ 为击中目标的次数，则 $E (X) = \frac{2}{3}$ ， $D (X) = \frac{4}{9}$

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7、2024年春晚魔术师刘谦再次重返舞台，利用简单的模具扑克牌向观众再次展示了魔术的魅力与神奇.某魔术师在表演时将8张不同色号的扑克牌分给3名观众，每个观众被分到的扑克牌数目不少于2张，且3名观众中没有人被分到3张扑克牌，则不同的分配方法有（）

A、2520种 B、1260种 C、420种 D、210种

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8、若直线 $y = 2 x - 1$ 与双曲线 $C : x^{2} - m y^{2} = 1$ 的一条渐近线平行，则实数 $m$ 的值为：（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $\sqrt{S_{n}} = n - 1$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ （）

A、11 B、13 C、24 D、25

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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11、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 4 \geq 0\}, B = \{x| x < 1\}, A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{x| x \leq - 2,$ 或 $x \geq 2\}$ B、 $\{x| x \leq - 2,$ 或 $x \geq 1\}$ C、 $\{x| 1 \leq x \leq 2\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 1\}$

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12、对于分别定义在 $D_{1}, D_{2}$ 上的函数 $f (x), g (x)$ 以及实数 $k$ ，若任取 $x_{1} \in D_{1}$ ，存在 $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = k$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (k)$ .其中 $x_{2}$ 称为 $x_{1}$ 的像.

(1)、若 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}), x \in R; g (x) = 3 cos (3 x + \frac{π}{6}), x \in R$ ，判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否具有关系 $M (- 6)$ ，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}), x \in [0, \frac{π}{3}]; g (x) = 3 \sqrt{3} cos (3 x + \frac{π}{6}), x \in [0, π]$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (\frac{5 \sqrt{3}}{2})$ ，求 $x_{1} = \frac{π}{6}$ 的像.

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13、已知在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B$ ，点 $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $C C_{1}$ 的延长线上，且 $C_{1} E = \frac{1}{3} C E$ .

(1)、证明： $A C_{1} //$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $B - D E - C$ 的正切值.

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14、智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从 $500$ 名手机使用者中随机抽取 $100$ 名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示)，其分组是： $[0, 20], (20, 40]$ ， $(40, 60], (60, 80], (80, 100]$ .
（1）根据频率分布直方图，估计这 $500$ 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)
（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（3）在抽取的 $100$ 名手机使用者中在 $(20, 40]$ 和 $(40, 60]$ 中按比例分别抽取 $2$ 人和 $3$ 人组成研究小组，然后再从研究小组中选出 $2$ 名组长.求这 $2$ 名组长分别选自 $(20, 40]$ 和 $(40, 60]$ 的概率是多少？

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15、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中， $a = 8$ ， $\tan A = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆半径；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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16、（1）求 $\frac{\sqrt{1 - 2 \sin 40 ° \cos 40 °}}{\sqrt{1 - \sin^{2} 50 °} + \cos 140 °}$ 的值；
（2）已知 $\tan θ = 2$ ，求 $\sin^{2} θ + \sin θ \cos θ$ 的值．

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17、对定义在非空集合 $I$ 上的函数 $f (x)$ ，以及函数 $g (x) = k x + b (k, b \in R)$ ，俄国数学家切比雪夫将函数 $y = |f (x) - g (x)|, x \in I$ 的最大值称为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”.若 $f (x) = x^{2}, x \in [- 1, 1]$ ， $g (x) = x + 1$ ，则函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”为.

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18、已知球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，球心 $O$ 到球内一点 $P$ 的距离为1，则过点 $P$ 的截面的面积的最小值为．

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19、计算 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + π^{\lg 1} + \log_{2} \frac{2}{3} - \log_{4} \frac{16}{9} =$ ．

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20、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 满足 $f (x) = g (x + 1) + 1$ ，且 $f (1 - x) + g (x + 1) = 1$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (4) = f (- 2)$ B、 $g (\frac{3}{2}) = 0$ C、 $g (1 - x) = g (1 + x)$ D、 $f (x)$ 的图象关于原点对称

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