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相关试卷

1、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上，且 $\vec{B E} = 3 \vec{E D}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

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2、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角 $△ O^{'} B^{'} A^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} = \sqrt{5}$ ，则原图形的面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{5}$ C、 $10 \sqrt{5}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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4、化简 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D})$ 所得的结果是（）

A、 $2 \vec{A B}$ B、 $\vec{B A}$ C、 $\vec{0}$ D、 $\vec{A B}$

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5、如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（）

A、 $α \cap β = m, n \subset α, A \subset α, A \subset β$ B、 $α \cap β = m, n \in α, m \cap n = A$ C、 $α \cap β = m, n \subset α, m \cap n = A$ D、 $α \cap β = m, n \in α, A \in α, A \in β$

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6、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点O即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $A D = 2 D C$ ， $B D = \sqrt{6}$ .

(1)、若 $\frac{2 \sin A - \sin C}{\sin C} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ .
①求 $B$ ；
②设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，当 $△ A B C$ 面积最大时，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值；

(2)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，若 $\cos 2 B + \cos 2 C - \cos 2 A = 1$ ， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数t的最小值.

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7、如图，四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $B C$ ∥ $A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = 1$ ， $P A = A D = 2$ .点E为PD的中点.

(1)、求证： $C E$ ∥平面PAB；

(2)、求证： $C D ⊥$ 平面PAC；

(3)、求三棱锥 $P - A C E$ 的体积.

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8、甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙都闯关成功的概率为 $\frac{2}{7}$ ，甲、丙都闯关成功的概率为 $\frac{3}{10}$ ，每人闯关成功记 $2$ 分，三人得分之和记为小组团体总分.

(1)、求乙、丙各自闯关成功的概率；

(2)、求在第一轮比赛中团体总分为 $4$ 分的概率；

(3)、若团体总分不小于 $4$ 分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.

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9、某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了 $300$ 名学生进行笔试 $($ 试卷满分 $100$ 分 $)$ ，并记录下他们的成绩，将数据分成 $5$ 组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)、求这部分学生成绩的众数与平均数 $($ 同组数据用该组区间的中点值作代表 $)$ ；

(2)、估计这组数据的上四分位数；

(3)、为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 $4$ 、 $5$ 组中用分层抽样的方法抽取 $6$ 名学生，进行第二轮比赛，最终从这 $6$ 名学生中随机抽取 $3$ 人参加市安全知识竞赛，求 $90$ 分 $($ 包括 $90$ 分 $)$ 以上的同学恰有 $2$ 人被抽到的概率.

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 5)$ ， $\vec{c} = (2 t + 1, t), (t \in R)$ .

(1)、若 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求t的值；

(2)、若 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为钝角，求t的取值范围.

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11、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $B D = 8$ ，则 $△ A B C$ 周长的最小值为.

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12、若复数 $z$ 满足 $z = 4 + 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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13、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = A A_{1} = \sqrt{3} ， A D = 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、长方体外接球的表面积等于 $7 π$ B、 $P$ 是线段 $B D$ 上的一动点，则 $P A + P B_{1}$ 的最小值等于3 C、点 $A_{1}$ 到平面 $点 C_{1} B D$ 的距离等于 $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ D、二面角 $A_{1} - B D - A$ 的正切值等于2

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14、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小关系中正确的有（）

A、丙图中平均数大于中位数 B、乙图中平均数大于中位数 C、甲图中平均数和中位数应该大体上差不多 D、乙图中平均数小于中位数

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15、下列各组向量中，不能作为基底的是（）

A、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, 1)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- 2, 1)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (- 3, 4)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, 6)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- 1, - 3)$

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16、在一个封闭的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为V的球，若 $A B ⊥ B C$ ， $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $A A_{1} = 5$ ，则球的体积的最大值为（）

A、 $\frac{125}{6} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $27 π$ D、 $36 π$

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17、正方形 $A B C D$ 的边长等于2，用斜二测画法画出水平放置的正方形 $A B C D$ 的直观图，则直观图的面积为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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18、在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（）

A、中位数，平均分，方差均不变 B、中位数，平均分，方差均变小 C、中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D、中位数，平均分，方差都发生改变

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19、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上一点.若 $\overset{⃑}{A D} = 2 \overset{⃑}{D B}, \overset{⃑}{C D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{C A} + λ \overset{⃑}{C B}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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20、 $△ A B C$ 中角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a, b, c$ ，若 $b = c = 1$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则角 $A$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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