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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{m}{x + 1}, g (x) = x + \ln \frac{x}{m} (m > 0)$ ，且 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = 0$ ，则 $\frac{x_{2} (x_{1} + 1)}{e^{m - 1}}$ 的最大值为.

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2、已知函数 $f (x) = 3 \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，正数 $a, b$ 满足 $f (a) + f (3 b - 1) = 0$ ，则 $\frac{3 b + a}{a b}$ 的最小值为．

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3、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为．

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4、下列式子中最小值为4的是（）

A、 $\sin^{2} x + \frac{4}{\sin^{2} x}$ B、 $2^{x} + 2^{2 - x}$ C、 $8 + \log_{2} (2 x) \cdot \log_{2} \frac{x}{8}$ D、 $\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}$

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5、设 $a = \frac{1}{5}, b = 2 \ln (\sin \frac{1}{10} + \cos \frac{1}{10}), c = \frac{6}{5} \ln \frac{6}{5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \sqrt{| x - a |} + \sqrt{| x + a |}$ ，若 $g (x) = f (x) - b$ 恰有三个不同的零点，且 $b$ 是其中的一个零点，则实数 $b$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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7、在同一直角坐标系内，存在一条直线 $l$ ，使得函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $l$ 对称，就称函数 $y = g (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的“轴对称函数”．已知函数 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 是自然对数的底数），则下列函数不是函数 $y = f (x)$ 的“轴对称函数”的是（）

A、 $y = 2 - e^{x}$ B、 $y = e^{2 - x}$ C、 $y = - e^{- x}$ D、 $y = \ln x$

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8、函数 $f (x) = sin x \cdot ln \frac{2 + x}{2 - x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9、 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + x$ ；则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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10、设 $a, b \in (0, 1)$ ，则“ $a = b$ ”是“ ${log}_{a} b = {log}_{b} a$ ”的（　　）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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11、已知集合 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $M = \{- 2, 2\}$ ， $N = \{x| - 1 \leq x \leq 1, x \in N\}$ ，则 $(∁_{U} M) \cap N =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $[0, 1]$

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12、已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $C_{1}$ 的长轴是圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆 $C_{1}$ 的左焦点 $F$ 作两条相互垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $l_{2}$ 交圆 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求四边形 $P M Q N$ 面积的最小值.

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13、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量 $($ 单位：克 $)$ ，重量分组区间为 $[5, 15]$ ， $(15, 25]$ ， $(25, 35]$ ， $(35, 45]$ ，由此得到样本的重量频率分布直方图 $($ 如图 $)$ ．
（1）求 $a$ 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量 $[5, 15]$ 内的小球个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $A D = C D = 2 B C = 4$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，点 $G$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $C D ∥$ 平面 $P B G$ ；

(2)、若平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P B = P D = 2$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{5} = 5$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $D$ 是边 $A B$ 上的点， $C D = 5$ ， $C B = 7$ ， $D B = 3$ .

(1)、求cos B与 $△ C B D$ 的面积；

(2)、求边AC的长.

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17、已知双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，右焦点为 $F$ ，若点 $N (0, 6)$ ， $M$ 是双曲线 $C$ 的左支上一点，则 $Δ F M N$ 周长的最小值为

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18、已知点 $P (4, 3)$ 是角 $α$ 终边上的一点，则 $\tan (π + α) =$ ．

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19、已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为.

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20、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $Q$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $N$ 为 $D D_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $C Q ⊥ B N$ B、 $C Q ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ C、 $B N ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ D、直线 $B N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为30°

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