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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点 $B (- 2, 0)$ ，且与双曲线C交于E，F两点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．

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2、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $A B ⊥ A D$ ， $E$ 为线段 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $A B ⊥ C E$ ．

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A C E$ 夹角的余弦值．

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3、甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了 $X$ 局后比赛结束．

(1)、求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2)、求 $X$ 的分布列及期望．

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - 7 x + 6 \ln x + 10$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极小值．

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5、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 10$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， D为AC的中点， $P D ⊥$ 平面ABC，且 $P D = 15$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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6、已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若 $m > 0$ ，则 $m =$ ，这组数据的方差为．

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2^{x}, x \leq 0 \\ - \lg x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (10)) =$ ．

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线l与圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（）

A、点F的坐标为 $(1, 0)$ B、 $|P N| + |P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ C、存在两个P点，使得 $|P M| = |P Q|$ D、若 $△ P F Q$ 为正三角形，则圆M与直线PQ相交

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - \sin^{2} ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，若将 $f (x)$ 的图象平移后能与函数 $y = \sin 2 x$ 的图象完全重合，则下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{7 π}{12}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(- π, - \frac{3 π}{4})$ 上单调递增

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10、已知复数 $z = (1 + i) (2 - a i) (a \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若z为纯虚数，则 $a = 2$ B、若z在复平面内对应的点位于第一象限，则 $a \in (- 2, 2)$ C、若 $a = - 1$ ，则 $\bar{z} = 1 - 3 i$ D、若 $|z| = 2 \sqrt{2}$ ，则 $a = 0$

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11、已知函数 $f (x)$ 满足：对任意实数x，y，都有 $f (f (x + y)) = f (x) + f (y)$ 成立，且 $f (0) = 1$ ．给出下列四个结论：① $f (1) = 0$ ；② $f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1, 1)$ 对称；③若 $f (2024) > 1$ ，则 $f (- 2024) < 1$ ；④ $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (- x) = f (- 1)$ ．其中所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、③④ C、②③ D、②④

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12、已知直线 $x - 4 y + 9 = 0$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 4)$ 相交于 $A, B$ 两点，椭圆的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，线段 $A B$ 的中点为 $C (- 1, 2)$ ，则 $△ C F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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13、如图所示，为测量一座古塔的高度，工作人员从塔底同一水平面的 $A$ 处测得塔顶C的仰角为 $15 °$ ，然后从 $A$ 处出发朝古塔方向走了60米到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得塔顶C的仰角为 $45 °$ ，把塔顶正下方的一点记为点 $D$ ，则该古塔的高度为（）

A、 $25 \sqrt{3}$ 米 B、 $15 (\sqrt{3} - 1)$ 米 C、 $30 (\sqrt{3} - 1)$ 米 D、 $30 (\sqrt{2} - 1)$ 米

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot x^{2} - b$ 有三个零点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{e^{2}})$ B、 $(0, \frac{4}{e^{2}})$ C、 $(- \infty, \frac{4}{e^{2}})$ D、 $[0, \frac{2}{e^{2}}]$

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15、 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、 $- 64 C_{9}^{4}$ B、 $- 64 C_{9}^{3}$ C、 $32 C_{9}^{4}$ D、 $- 128 C_{9}^{4}$

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16、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 4 = 0$ 关于直线 $l : a x + b y - 1 = 0 (a b > 0)$ 对称，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{3 b}$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、6 D、4

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17、若向量 $\vec{a} = (- 2, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3)$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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18、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{x | \ln x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

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19、如果 $a$ 和 $b$ 除以 $m (\geq 1)$ 所得余数相同，则称 $a, b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ ，
若集合 $A = \{m, n\}$ ，集合 $B = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{3 j (j \in N^{*})}\}$ ，现从集合 $B$ 中的 $3 j$ 个数中抽出 $3 k$ 个数，
（ $k \in N^{*}$ ）且 $0 < k \leq j$ ，使这 $3 k$ 个数平均分为 $k$ 组，若存在一组数对 $(x, y, z)$ (三者不相等）且满足 $z$ 恰好能被 $m (n)$ 整除， $x, y$ 对模 $n (m)$ 同余，则 $A, B$ 为“灵魂莲华集合”， $(x, y, z)$ 为“灵魂莲华数对”

(1)、判断 $A = \{3, 4\} ， B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 为“灵魂莲华集合”

(2)、若 $A = \{2, 5\} ， B = {x | 1 \leq x \leq 18, x \in Z}$ ，判断有多少组数对 $(x, y, z)$ 为灵魂莲华数对

(3)、现从素数集合 $B$ 中任取三个不同的数 $a, b, c (a > b > c)$ ，若 $a, b, c$ 构成公差为8的等差数列，求证：无论 $A = \{p, q\} (p, q > 0$ 且 $p, q \in Z)$ 为任何集合，最多有一对满足条件的 $(a, b, c)$ 为灵魂莲华数对．

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20、若点 $P (2, \sqrt{3})$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 上一点， $a b = 1$ ，点A为双曲线的右顶点，过点P作直线l交双曲线C于点Q，l于y轴相交于点B，点D为y轴上一动点，O为原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程．

(2)、若 $A, B, D, Q$ 四点共圆.
①求 $\sin ∠ B D Q$ 的值；
②若 $\frac{|P B| |P Q|}{|P D|} = 2$ ，求直线 $P B$ 的斜率.

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