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相关试卷

1、某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩 $X ~ N (100, 10^{2})$ ，如果从高到低按照 $16 %, 34 %, 34 %, 16 %$ 的比例将考试成绩分为 $A, B, C, D$ 四个等级，则 $A$ 等级分数线大概为（）（参考数据：若 $X ~ N (μ, δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ \leq X \leq μ + δ) \approx 0.6827, P (μ - 2 δ \leq X \leq μ + 2 δ) \approx$ $0.9545, P (μ - 3 δ \leq X \leq μ + 3 δ) \approx 0.9973)$

A、134 B、120 C、116 D、110

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2、以下求导计算正确的是（）

A、 ${(\sin \frac{π}{6})}^{'} = \cos \frac{π}{6}$ B、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}}$ C、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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3、通过计算样本相关系数 $r$ 可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数 $r$ ，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（）

A、 $r = 0.93$ B、 $r = 0.82$ C、 $r = 0.04$ D、 $r = - 0.05$

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4、牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设 $r$ 是 $y = f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为横坐标为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值，过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴的交点为横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值．一般地，过点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ， $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴的交点为横坐标为 $x_{n + 1}$ ，就称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列．

(1)、若 $f (x) = x^{3} + x - 1$ 的零点为 $r$ ， $x_{0} = 0$ ，请用牛顿切线法求 $r$ 的2次近似值；

(2)、已知二次函数 $g (x)$ 有两个不相等的实数根 $b, c (c > b)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为 $g (x)$ 的牛顿数列，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{x_{n} - b}{x_{n} - c} (n \in N^{*})$ ，且 $x_{n} > c$ ．
（ⅰ）设 $x_{n + 1} = h (x_{n})$ ，求 $h (x_{n})$ 的解析式；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + \dots + \frac{1}{c_{n}} < \frac{2}{ln c_{1}}$

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5、在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且不同对阵的结果相互独立.

(1)、若 $p = 0.6$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)、除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D$ ，过棱 $P D$ 的中点E作 $E F ⊥ P C$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A F$ ；

(2)、若 $C D = 2 A D = 2$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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7、已知角 $θ$ 的终边过点P（1，2），则 $\tan (θ + \frac{π}{4}) =$ .

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{9} = 14$ ， $a_{2} = - 3$ ，则 $S_{8} =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象先关于 $x$ 轴对称，然后再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、 $g (- x) = g (x - \frac{π}{6})$ C、函数 $g (x)$ 为奇函数 D、函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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10、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，过点 $A$ 作抛物线的切线 $P A$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|A B|$ 的最小值为 $4$ B、当 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ 时， $|A B| = \frac{10}{3}$ C、以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - 1$ 相切 D、当 $|A B|$ 最小时，切线 $P A$ 与准线的交点坐标为 $(- 1, 0)$

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11、若 $a + b + c = 4$ ， $3 a + 2 b - c = 0$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽 $A D = 3$ 丈，长 $A B = 4$ 丈，上棱 $E F = 2$ 丈， $E F$ 与平面 $A B C D$ 平行． $E F$ 与平面 $A B C D$ 的距离为1丈，则它的体积是（）

A、4立方丈 B、5立方丈 C、6立方丈 D、8立方丈

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13、函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \cos x$ 图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知 $A (1, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| M A | - | M B | = 2$ ，则点 $M$ 的轨迹方程是

A、 $y = 0$ （ $x \leq - 1$ ） B、 $y = 0$ （ $x \geq 1$ ） C、 $y = 0$ （ $- 1 \leq x \leq 1$ ） D、 $y = 0$ （ $| x | \geq 1$ ）

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15、下列命题中正确的是( )

A、一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 B、对一组数据 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，如果将它们变为 $x_{i} + C (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，其中 $C \neq 0$ ，则平均数和标准差均发生改变 C、有甲､乙､丙三种个体按 $3 : 1 : 2$ 的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D、若随机变量X服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X < 5) = 0.86$ ，则 $P (X \leq - 1) = 0.14$

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16、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都为非零向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ， $|\vec{a} + 3 \vec{b}| = |2 \vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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17、下列四个命题中，是真命题的为（）

A、任意 $x \in R$ ，有 $x^{2} + 3 < 0$ B、任意 $x \in N$ ，有 $x^{2} > 1$ C、存在 $x \in Z$ ，使 $x^{5} < 1$ D、存在 $x \in Q$ ，使 $x^{2} = 3$

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18、已知复数 $z$ 满足 $z = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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19、如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 $8 cm$ 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？最省材料为多少？

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a sin A - b sin B + (b - c) sin C = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{\sqrt{3} (2 b + c)}{a}$ 的取值范围.

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