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相关试卷

1、给出下列命题，其中正确的是（）

A、对于独立性检验 $K^{2}$ 的值越大，说明两事件相关程度越大. B、若随机变量 $ξ \sim N (1, σ^{2}), P (ξ \leq 4) = 0.75$ ，则 $P (ξ \leq - 2) = 0.25$ C、若 $X \sim B (9, \frac{1}{3})$ ，则 $D (2 X + 1) = 8$ D、已知样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3 \dots 10)$ 组成一个样本，得到回归直线方程 $\hat{y} = 2 x - 0.4$ ，且 $\bar{x} = 2$ ，剔除两个样本点 $(- 3, 1)$ 和 $(3, - 1)$ 得到新的回归直线的斜率为 $3$ ，则新的回归方程为 $\hat{y} = 3 x - 3$

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2、若关于 $x$ 的不等式 $e^{x} + x + 2 ln \frac{1}{x} \geq m x^{2} + ln m$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{4}$ C、1 D、 $e^{2}$

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3、某中学数学组来了 $5$ 名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的 $1$ ， $2$ ， $3$ 三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A、 $30$ 种 B、 $90$ 种 C、 $150$ 种 D、 $180$ 种

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4、在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 $120$ 分为优秀， $120$ 分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

优秀
非优秀
合计
甲班人数
$10$
$50$
$60$
乙班人数
$20$
$30$
$50$
合计
$30$
$80$
$110$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（）

A、 $95 %$ B、 $99.5 %$ C、 $99.9 %$ D、 $99 %$

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5、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{3}$ $= 3$ ， $S_{6}$ $= 10$ ， $S_{9}$ $=$ （）

A、 $13$ B、 $17$ C、 $21$ D、 $23$

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6、数列 $1 ， 3 ， 7 ， 13 ， 21$ …的一个通项公式是 $a_{n} =$

A、 $n^{2} - n$ B、 $n^{2} - n - 1$ C、 $n^{2} - n + 1$ D、 $n^{2} - 2 n$

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7、下列图象中有一个是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + (a^{2} - 1) x + 1 (a \in R, a \neq 0)$ 的导数 $f' (x)$ 的图象，则 $f (- 1) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$

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8、安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（）

A、31 B、53 C、61 D、65

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9、已知 $f (x) = a x e^{x} - x - ln x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{e}$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, t] (t > 0)$ 上的最小值 $h (t)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 有2个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $e^{x_{1} + x_{2}} < \frac{1}{a^{2} x_{1} x_{2}}$ ．

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10、已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 8$ ，过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，延长 $F_{2} M$ 交另一条渐近线于点 $N$ ，且 $|F_{2} M| = |M N|$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、如图，过 $A (6, 0)$ 作直线 $l$ （ $l$ 不与 $x$ 轴重合）与曲线 $C$ 的两支交于 $P, Q$ 两点，直线 $F_{1} P, F_{1} Q$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $S, T$ ，求证：直线 $S T$ 经过定点．

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11、如图1，直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = \frac{1}{2} C D = 2, A D = 2, A D ⊥ C D, A B // C D$ ，将直角梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 旋转一周得到如图2的圆台， $E F$ 为圆台的母线，且 $C F = 4, M$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、在线段 $C F$ 上是否存在一点 $N$ ，使 $M N //$ 平面 $A E F D$ ？说明理由；

(2)、若 $P$ 为线段 $C D$ 的中点，求平面 $A E F D$ 与平面 $M F P$ 夹角的余弦值．

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12、自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、

(1)、已知报名者 $1, 2, 3$ 组人数之比为 $3 : 3 : 4$ ，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设 $1, 2, 3$ 组中的每一个人答对某道题的概率分别为 $0.90, 0.95, 0.90$ ，从中任选一人，求此人答对该题的概率；

(2)、从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记 $X$ 为其中女性的人数，求 $X$ 的数学期望．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 1, S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n} = \frac{2}{S_{n} + S_{n - 1}} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}^{2} + S_{n + 1}^{2}}{S_{n}^{4} \cdot S_{n + 1}^{4}}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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14、记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 b {sin}^{2} \frac{A + B}{2} = \sqrt{3} c sin B$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若边 $A B$ 上的高 $C D = 2$ ，当 $△ A B C$ 的面积取最小值时，求 $△ A B C$ 内切圆的面积．

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15、若不等式xe^x－e^x ln x＞mx－e^x恒成立，则正整数m的最大值为．

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为椭圆上不与顶点重合的任一点， $C$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心， $O$ 为坐标原点，则直线 $P C$ 与 $O P$ 的斜率之比 $\frac{k_{P C}}{k_{O P}} =$ ．（用 $a, b$ 表示）

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17、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $sin (α - β) = 2 sin β cos α$ ，则 $α - β$ 的最大值为．

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18、高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长 $10 m$ ，下底边长 $16 m$ ，侧棱长 $8 m$ ，则此四棱台的体积为 $m^{3}$ ．

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19、已知 ${log}_{a} b > 0$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $a > b$ ，且 $e^{a} \cdot b > e^{b} \cdot a$ ，则（）

A、 $ln b - a < - 1$ B、 $b^{a - 1} > a^{b - 1}$ C、 $(a + 1) ln (b + 1) > (b + 1) ln (a + 1)$ D、 ${log}_{a + 1} a > {log}_{b + 1} b$

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20、已知 $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径， $S A = 4$ ， $S O = 2 \sqrt{3}$ ，点 $B$ 为圆 $O$ 上异于 $A, C$ 的一点， $M$ 为线段 $S C$ 上的动点（异于端点），则（）

A、直线 $S B$ 与平面 $S A M$ 所成角的最大值为 $\frac{π}{6}$ B、圆锥 $S O$ 内切球的体积为 $\frac{32}{125} \sqrt{3} π$ C、棱长为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 的正四面体可以放在圆锥 $S O$ 内 D、当 $M$ 为 $S C$ 的中点时，满足 $S B ⊥ A M$ 的点 $B$ 有2个

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	优秀	非优秀	合计
甲班人数	$10$	$50$	$60$
乙班人数	$20$	$30$	$50$
合计	$30$	$80$	$110$

$α$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$