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相关试卷

1、布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 $f (x)$ ，存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，我们就称该函数为“不动点”函数，实数 $x_{0}$ 为该函数的不动点.

(1)、求函数 $f (x) = 2^{x} + x - 3$ 的不动点；

(2)、若函数 $g (x) = \ln x - b$ 有两个不动点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，若 $x_{2} - x_{1} \leq 2$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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2、已知 $f (x) = \frac{f^{'} (1)}{e} e^{x} + x^{2} - f (0) x$ ，若 $\forall m \in R$ ，均有不等式 $f (m) \geq 2 n^{2} + 3 n$ 恒成立，则实数 $n$ 的取值范围为.

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3、集合 $A = \{x| 2 x - 4 \leq 2\}$ ，集合 $B = \{x| |x + a| \leq 3\}$ ， $A \cap B = \{x| - 2 \leq x \leq 3\}$ ，则 $a =$ .

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4、设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为复数，且 $z_{1} \neq 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ B、若 $|z_{1} - i| = 1$ ，则 $|z_{1}|$ 的最大值为2 C、若 $z_{1} z_{2} = {|z_{1}|}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ D、若 $z_{1} z_{3} = z_{2} z_{3}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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5、已知 $f (x + 4) = f (- x)$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (2023) + f (2024) =$ （）

A、4047 B、2 C、 $- 2$ D、3

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6、已知 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}), \tan 2 θ = - 4 \tan (θ - \frac{5 π}{4})$ ，则 $\frac{\cos 2 θ + 2}{\sin^{2} θ + \sin 2 θ} =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{19}{24}$ D、 $\frac{9}{8}$

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7、已知 $Q$ 为圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\vec{Q P} = (4, - 1)$ ，记 $P$ 的轨迹为 $E$ ，则下列说法错误的是（）

A、轨迹 $E$ 是一个半径为3的圆 B、圆 $C$ 与轨迹 $E$ 有两个交点 C、过点 $A (1, - 1)$ 作圆 $C$ 的切线，有两条切线，且两切点的距离为 $\frac{24}{5}$ D、点 $B$ 为直线 $l : x + 2 y + 10 = 0$ 上的动点，则PB的最小值为 $\frac{11 \sqrt{5}}{5}$

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8、设 $α, β, γ$ 是三个互不重合的平面， $m, l$ 是两条不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α ⊥ β, α ⊥ γ$ ，则 $β ⊥ γ$ B、若 $l / / α, l / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α, l ⊥ β, m ⊥ l$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m / / l, l / / α$ ，则 $m / / α$

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9、如图所示的花盆为正四棱台，上口宽 $5 cm$ ，下口宽 $3 cm$ ，棱长 $3 \sqrt{3} cm$ ，则该花盆的体积为（）

A、 $\frac{245}{3} {cm}^{3}$ B、 $49 \sqrt{3} {cm}^{3}$ C、 $\frac{49 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$ D、 $245 {cm}^{3}$

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10、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{8} = 4, a_{15} = 22$ ，则 $S_{12} - S_{7} =$ （）

A、14 B、72 C、36 D、60

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11、双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{17}$ ，则双曲线上任意一点 $Q$ 到两焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之差的绝对值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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12、样本数据16，24，14，10，16，21，12，9，13，18的 $40 %$ 分位数为（）

A、13 B、13.5 C、14 D、16

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13、11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 $10 : 10$ 平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成 $10 : 10$ 平后，甲先发球.

(1)、求再打2球该局比赛结束的概率；

(2)、两人又打了 $X$ 个球该局比赛结束，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、若将规则改为“打成 $10 : 10$ 平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $P (3, - 2)$ 在 $C$ 上.设直线 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $l$ 的斜率存在，且直线 $l$ 过定点.

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均相等， $C B_{1} \cap B C_{1} = O$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $C B ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明； $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(2)、若二面角 $C_{1} - A_{1} B_{1} - B$ 的正弦值.

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n} ， \{b_{n}\}$ 是等比数列，已知 $a_{1} = 1 ， S_{3} = 6$ ， $b_{1} = a_{2} ， a_{8}$ 是 $a_{4}$ 和 $b_{4}$ 的等比中项.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、记 $c_{n} = \frac{b_{n} - 1}{b_{n + 1} - 1}$ ，求证： $\frac{n}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}} < \sum_{i = 1}^{n} c_{i} < \frac{n}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{n + 2}}$ .

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17、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 2$ 时，证明： $f (x) \leq x^{2} + x - 1$ ．

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18、如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 6 \sqrt{3}$ ， $C D = 8 \sqrt{3}$ ， $A D = 6$ ，点E，F分别为边 $A B$ ， $C D$ 上的点，且 $E F ∥ A D$ ， $A E = 4 \sqrt{3}$ .将四边形 $A E F D$ 沿 $E F$ 折起，如图2，使得平面 $A E F D ⊥$ 平面 $E B C F$ ，点M是四边形 $A E F D$ 内（含边界）的动点，且直线 $M B$ 与平面 $A E F D$ 所成的角和直线 $M C$ 与平面 $A E F D$ 所成的角相等，则当三棱锥 $M - B E F$ 的体积最大时，三棱锥 $M - B E F$ 的外接球的表面积为.

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (1 - 3 a) x + a + 1, & x < 2 \\ 2 a^{x}, & x \geq 2 \end{matrix}$ 满足对任意的 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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20、已知 $y > x > 0$ ，则 $\frac{y}{y - x} - \frac{4 x}{2 x + y}$ 的最小值为.

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