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相关试卷

1、已知 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 是椭圆 $M$ 的两个焦点，过点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆 $M$ 于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 3$ ，则椭圆 $M$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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3、如图，在 $△ A O B$ 中， $D$ 是边 $O B$ 的中点， $C$ 是边 $O A$ 上靠近点 $O$ 的一个三等分点， $A D$ 与 $B C$ 交于点 $M$ .设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

（1）用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{O M}$ .
（2）过点 $M$ 的直线与边 $O A$ ， $O B$ 分别交于点 $E$ ， $F$ .设 $\vec{O E} = p \vec{a}$ ， $\vec{O F} = q \vec{b}$ ，求 $\frac{1}{p} + \frac{2}{q}$ 的值.

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4、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b \cos C = c \sin B$ ．

(1)、求角C的大小

(2)、若 $c = 2 \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ .

(1)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角：

(2)、若 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ， $(\vec{c} + \vec{a}) / / \vec{b}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标.

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6、已知复数 $z = 3 + m i (m \in R)$ ，且 $(1+3 i) z$ 为纯虚数.
（1）求复数 $z$ ；
（2）若 $z=(2-i) w$ ，求复数 $w$ 的模 $|w|$ .

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7、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 $A$ ， $B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C$ ， $D$ ，测得 $C D = 80$ ， $∠ A D B = 135 °$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 15 °$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，则 $A$ ， $B$ 两点间的距离为.

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8、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\overset{⇀}{E C} = λ \overset{⇀}{A D} + μ \overset{⇀}{A B}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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9、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4 |\vec{b}|$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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10、定义两个非零平面向量的一种新运算 $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，则对于两个非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列结论一定成立的有（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{a} \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ B、 ${(\vec{a} * \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2}$ C、 $λ (\vec{a} * \vec{b}) = (λ \vec{a}) * \vec{b}$ D、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行

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11、设z是复数，则下列命题中的假命题是

A、若 $z^{2} \geq 0$ ，则z是实数 B、若 $z^{2} < 0$ ，则z是虚数 C、若z是虚数，则 $z^{2} \geq 0$ D、若z是纯虚数，则 $z^{2} < 0$

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12、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 的形状不可能是（）

A、锐角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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13、已知点O是 $Δ A B C$ 内一点，满足 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = m \vec{O C}$ ， $\frac{S_{Δ A O B}}{S_{Δ A B C}} = \frac{4}{7}$ ，则实数m为（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a = 1$ ， $4 S = b^{2} + c^{2} - 1$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $2 π$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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15、如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} ， P$ 是 $B N$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A P} = m \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ ，则实数 $m$ 的值是

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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16、在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　)

A、 $\sqrt{5} π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、3π D、4π

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17、已知 $i$ 为虚数单位， $z = \frac{4}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为(　　).

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、2 D、 $- 2$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ，向量 $\vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则m等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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19、已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ，圆心在直线 $y = x + 1$ 上，截 $y$ 轴弦长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 半径小于 $10$ ，点 $D$ 在该圆上运动，点 $B (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $B$ 、 $D$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $B D$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|B M| \cdot |B N|$ 恒为定值．

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20、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, A D = A A_{1} = 2$ ，点E在 $A B$ 上，且 $A E = 1$

(1)、求直线 $D_{1} E$ 与 $A_{1} C$ 所成角 $α$ 的余弦值．

(2)、在图中画出面 $A B C_{1}$ 与面 $A_{1} E C$ 的交线并求出该交线在长方体内部的长度．

(3)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} E C$ 的距离．

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