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相关试卷

1、高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下： $73, 71, 91, 80, 82, 85, 106, 93$ ，则这组数据的中位数与 $70 %$ 分位数分别为（）

A、 $81, 95.5$ B、 $81, 85$ C、 $83.5, 92$ D、 $83.5, 91$

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2、在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $n$ 次，红球出现 $m$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $p$ ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\hat{p} = \frac{m}{n}$ ．

(1)、若袋中这两种颜色球的个数之比为 $1 : 3$ ，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 $Y$ ，则 $Y ～ B (3, p)$ ．
（注： $P_{p} (Y = k)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时，摸出红球次数为 $k$ 的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
$k$
0
1
2
3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$
$\frac{27}{64}$

$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$

$\frac{9}{64}$

$\frac{27}{64}$
（ⅱ）在统计理论中，把使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大时的 $p$ ，作为 $p$ 的估计值，记为 $\hat{p}$ ，请写出 $\hat{p}$ 的值．

(2)、把（1）中“使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\hat{p}$ ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数 $θ$ 构建对数似然函数 $l (θ)$ ，再对其关于参数 $θ$ 求导，得到似然方程 $l^{'} (θ) = 0$ ，最后求解参数 $θ$ 的估计值．已知 $Y ～ B (n, p)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为 $l (p) = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \ln p + \sum_{i = 1}^{n} (1 - X_{i}) \ln (1 - p)$ ，其中 $X_{i} = \{\begin{matrix} 0, 第 i 次摸出白球 \\ 1, 第 i 次摸出红球 \end{matrix}$ ．求参数 $p$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．

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3、已知 $A$ 为双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点，过点 $B (0, 2)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于D、E两点.

(1)、若 $A D ⊥ A E$ ，试求直线 $l$ 的斜率；

(2)、记双曲线 $C$ 的两条渐近线分别为 $l_{1}, l_{2}$ ，过曲线 $C$ 的右支上一点 $P$ 作直线与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于M、N两点，且M、N位于 $y$ 轴右侧，若满足 $\vec{M P} = λ \vec{P N}, λ \in [\frac{1}{2}, 4]$ ，求 $S_{△ M O N}$ 的取值范围（ $O$ 为坐标原点）.

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4、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1, S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2}$ .试求：

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = a_{2 n}$ ，数列 $\{\frac{1}{c_{n} c_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，当 $T_{n} > \frac{2}{9}$ 时，求满足条件的最小整数 $n$ .

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5、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = P C = 2 P B = 2 A C = 2$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C$ .

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $D$ 为棱 $P C$ 上靠近 $P$ 的三等分点，求直线 $P A$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值.

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6、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足 $\cos C = \frac{c - c \cos A}{a}$ .请回答下列问题：

(1)、证明： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆直径为1，试求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = x e^{a x} - \ln x - a x - 1$ ，若函数 $f (x)$ 的最小值恰好为0，则实数 $a$ 的最小值是.

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8、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C, P A = A C = 2, ∠ A B C = 30^{°}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为.

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9、 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{23}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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10、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为点 $F_{1}, F_{2}$ ，斜率为正的渐近线为 $l_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l_{1}$ 的垂线，垂足为点 $A$ ，交双曲线于点 $P$ ，设点 $M$ 是双曲线 $C$ 上任意一点，若 $|P F_{2}| = \frac{2}{3} |A F_{2}|, S_{△ P F_{1} F_{2}} = \frac{4}{3}$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ B、双曲线 $C$ 的共轭双曲线方程为 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、当点 $M$ 位于双曲线 $C$ 右支时， $\frac{|M F_{1}|}{|M F_{2}|} \in (1, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}]$ D、点 $M$ 到两渐近线的距离之积为 $\frac{4}{5}$

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11、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个对称中心是 $(- \frac{2 π}{3}, 1)$ B、 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x + \frac{π}{2}) - f (\frac{π}{2})}{2 Δ x} = - 1$ C、将函数 $g (x) = 2 \cos x + 1$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $x \in (0, a)$ 上有5个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{7 π}{3}, \frac{17 π}{6}]$

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12、下列说法正确的是（）

A、若随机变量X，Y满足 $Y = - X + 1$ ，则 $D (Y) = D (X) + 1$ B、相关指数 $R^{2}$ 越大，残差平方和越小，回归模型拟合效果越好 C、已知 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，且事件 $A$ 与 $B$ 不独立，则 $P (B ∣ A) < P (B)$ D、已知随机变量 $X$ 的均值为 $μ$ ，方差为 $D (X)$ ，常数 $a \neq μ$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - a)}^{2} p_{i} > D (X)$

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13、已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0, | \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{a} | = 4, {\vec{d}}^{2} - 6 \vec{b} \cdot \vec{d} + 5 = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{d} |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{21}}{3} + 2$ B、4 C、6 D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2$

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14、第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地 $A$ ， B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有（）

A、462种 B、300种 C、402种 D、390种

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $T_{2024} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} {(\frac{1}{3})}^{2023} + \frac{1}{2}$ B、4049 C、 $\frac{1}{4049}$ D、 $\frac{4047}{4049}$

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16、过点 $A (- 3, - 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点 $P$ 的轨迹是（）

A、一个半径为10的圆的一部分 B、一个焦距为10的椭圆的一部分 C、一条过原点的线段 D、一个半径为5的圆的一部分

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17、某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 $^{3} H$ 含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知 $^{3} H$ 的质量 $M (kg)$ 随时间 $t$ （年）的指数衰减规律是： $M = M_{0} \cdot 2^{- 0.008 t}$ （其中 $M_{0}$ 为 $^{3} H$ 的初始质量）.则当 $^{3} H$ 的质量衰减为最初的 $\frac{9}{16}$ 时，所经过的时间约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30, \lg 3 \approx$ $0.48)$

A、300年 B、100年 C、255年 D、125年

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18、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内所对应的点分别为 $(1, - 3), (- 2, 5)$ ，则 $|\frac{z_{2}}{z_{1}} + 1| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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19、2024年某校举行一场射箭比赛，甲乙等8人各射中的环数分别为：9环，4环，6环，5环，7环，10环，8环，9环.则这8个人的成绩的上四分位数是（）

A、8环 B、9环 C、7环 D、6环

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20、假设 $G (x)$ 是定义在一个区间 $I$ 上的连续函数，且 ${G (x) | x \in I} \subset I$ .对 $\forall x_{0} \in I$ ，记 $x_{1} = G (x_{0}) = G^{1} (x_{0})$ ， $x_{2} = G (x_{1}) = G (G (x_{0})) = G^{2} (x_{0})$ ， …， $x_{n} = G (G^{n - 1} (x_{0})) = G^{n} (x_{0}) \dots$ .若某一个函数 $G (x)$ 满足 $G^{n + 2} (x_{0}) = p G^{n + 1} (x_{0}) + q G^{n} (x_{0})$ ，则有 $x_{n} = s α^{n} + t β^{n}$ （其中 $α$ ， $β$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} = p x + q$ 的两个根， $s$ ， $t$ 是可以由 $x_{0}$ ， $x_{1}$ 来确定的常数）.

(1)、若 $x_{0} = 2$ ， $x_{1} = 3$ 且满足 $G^{n + 2} (2) = - G^{n + 1} (2) + 2 G^{n} (2)$ .
（ⅰ）求 $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的值；
（ⅱ）求 $x_{n}$ 的表达式；

(2)、若函数 $G (x)$ 的定义域为 $A$ ，值域为 $B$ ，且 $A = B = (0, + \infty)$ ，且函数 $G (x)$ 满足 $G^{n + 2} (x) = - G^{n + 1} (x) + 6 G^{n} (x)$ ，求 $G (x)$ 的解析式.

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$k$	0	1	2	3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$	$\frac{27}{64}$			$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$		$\frac{9}{64}$		$\frac{27}{64}$