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相关试卷

1、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - \sqrt{3} k)}^{2} = 4$ ，则（）

A、无论k取何值，圆心 $C_{k}$ 始终在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上 B、若圆O与圆 $C_{k}$ 有公共点，则实数k的取值范围为 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、若圆O与圆 $C_{k}$ 的公共弦长为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则 $k = \pm 1$ 或 $k = \pm \frac{3}{4}$ D、与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当 $k = \pm \frac{3}{2}$ 时，两圆的外公切线长为 $2 \sqrt{2}$

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2、设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）

A、 $k_{A B} \cdot k_{O M} = - 1$ B、若 $M (1, 1)$ ，则直线l的方程为 $2 x + y - 3 = 0$ C、若直线l的方程为 $y = x + 2$ ，则 $M (\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ D、若直线l的方程为 $y = x + 2$ ，则 $|A B| = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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3、已知事件A，B，且 $P (A) = 0.5, P (B) = 0.2, P (C) = 0.15$ ，则下列结论正确的是（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.5, P (A B) = 0.2$ B、如果A与B互斥，那么 $P (A \cup B) = 0.7, P (A B) = 0$ C、如果A与B相互独立，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.9$ D、如果A、B与C两两互斥，那么 $P (A \cup B \cup C) = 0.85$

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点和上顶点分别为点 $F (c, 0) (b > c)$ 和点A，直线 $l : \sqrt{2} x - y - 4 = 0$ 交椭圆于P，Q两点，若F恰好为 $△ A P Q$ 的重心，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， O为坐标原点，过 $F_{1}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且 $|D F_{2}| = \sqrt{7} |O D|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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6、某中学高二学生500人，其中男生300人，女生200人﹐现获得全体学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层抽样方法，抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为 $171cm$ ，方差为 ${29cm}^{2}$ ；女生身高样本均值为 $161cm$ ，方差为 ${19cm}^{2}$ ，下列说法中不正确的是（）

A、男生样本容量为30 B、每个男生被抽入到样本的概率均为 $\frac{1}{10}$ C、所有样本的均值为 $167cm$ D、所有样本的方差为 ${45cm}^{2}$

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7、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} x$

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8、直线 $l_{1} : a x + y - 1 = 0, l_{2} : (a - 2) x - a y + 1 = 0$ ，则“ $a = - 2$ ”是“ $l_{1} // l_{2}$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分也不必要

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9、直线 $3 x + \sqrt{3} y - 6 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、已知函数 $f (x) = e^{2 a x} - 3 \ln x$ ，若 $f (x) > x^{3} - 2 a x$ 恒成立，则实数a的取值范围为

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11、设集合 $P = \{x |- 2 < x < 3\}$ ， $Q = \{x |3 a < x \leq a + 1\}$ .

(1)、若 $Q \neq \emptyset$ 且 $Q \subseteq P$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $P \cap Q = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知 $x$ ， $y$ 均为正实数，且 $x + y = 16$ ，则 $\frac{x y}{9 x + y}$ 的最大值为.

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13、已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(3, \frac{1}{9})$ ，求 $f (- 3) =$ ．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{a x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 有两个不同的根 $x_{1}, x_{2}$ ．
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2$ ．

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15、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为 $B C$ 的中点，E为 $A D$ 的中点，延长 $B E$ 交 $A C$ 于点F，若 $b = 2, 4 \sin A \sin C = 3 \sqrt{3} \sin B$ ，则 $△ A E F$ 的面积为.

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16、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点 $P$ 在对角线 $B D_{1}$ 上，过 $P$ 作垂直于 $B D_{1}$ 的平面 $α$ ，记平面 $α$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面多边形（含三角形）的周长为 $L$ ，面积为 $S$ ， $B P = x, x \in (0, \sqrt{3})$ ，下面关于函数 $L (x)$ 和 $S (x)$ 的描述正确的是（）

A、 $S (x)$ 最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ； B、 $L (x)$ 在 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时取得极大值； C、 $L (x)$ 在 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 上单调递增，在 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$ 上单调递减； D、 $S (x)$ 在 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 上单调递增，在 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$ 上单调递减

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17、欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ （i为虚数单位， $x \in R$ ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A、 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $e^{πi} = - 1$ C、 $|e^{xi}| = | \cos x | + | \sin x |$ D、 $e^{\frac{π}{2} i}$ 的共轭复数为 $- i$

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18、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 的图象与 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值等于（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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19、在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，每场比赛的结果相互独立.

(1)、求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；

(2)、已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.

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20、某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位： $kW \cdot h$ ），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若去年小明家的月均用电量为 $234 kW \cdot h$ ，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？

(3)、通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）

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