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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点，二面角 $D - P N - C$ 的正切值为2.

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(2)、证明： $D M ⊥ P C$

(3)、求直线 $P M$ 与平面 $P N C$ 所成角的正弦值.

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2、（1）请利用已经学过的方差公式： $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 来证明方差第二公式 $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ ；
（2）如果事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $A$ 与 $\bar{B}$ 相互独立吗？请给予证明.

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3、若一组样本数据 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n}$ 的平均数为10，另一组样本数据 $2 x_{1} + 4, 2 x_{2} + 4, \dots, 2 x_{n} + 4$ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是.

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4、平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD $= \sqrt{2}$ ， BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A^'﹣BCD，使平面A^'BD⊥平面BCD，若四面体A^'﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积.

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5、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为．

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6、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $2 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、勒洛四面体被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $2 (π - \sqrt{3})$ C、勒洛四面体表面上交线 $A C$ 的长度为 $\frac{2 π}{3}$ D、勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

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7、在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，极差为5；
乙地：总体平均数为2，众数为2；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丁地：总体平均数为2，总体方差为3.
则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）

A、甲地 B、乙地 C、丙地 D、丁地

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8、某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）

A、丁险种参保人数超过五成 B、41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C、18－29周岁人群参保的总费用最少 D、人均参保费用不超过5000元

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9、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{e}$ ，且 $|\vec{e}| = 1$ ， $|\vec{a}| = 2$ .已知向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{e}$ 所成的角为60°，且 $|\vec{b} - t \vec{e}| \geq |\vec{b} - \vec{e}|$ 对任意实数 $t$ 恒成立，则 $|\vec{a} + \vec{e}| + |\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10、如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D, F B ∥ E D, A B = E D = 2 F B$ ，记三棱锥 $E - A C D, F - A B C, F - A C E$ 的体积分别为 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ ，则（）

A、 $V_{3} = 2 V_{2}$ B、 $V_{3} = V_{1}$ C、 $V_{3} = 3 V_{1} - V_{2}$ D、 $2 V_{3} = 3 V_{1}$

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11、一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则 $x =$ （）．

A、58或64 B、58 C、59或64 D、59

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12、下列说法正确的是（）

A、互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B、若 $P (A) + P (B) = 1$ ，则事件A与事件B是对立事件 C、从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 $\frac{2}{5}$ D、事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大

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13、已知向量 $\vec{A B} = (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\vec{B C} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ ，则 $∠ A B C =$ （）

A、30° B、150° C、60° D、120°

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14、某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为 $b$ ，则（）

A、 $b = \frac{1}{9}$ B、 $b = \frac{2}{9}$ C、 $b = \frac{3}{10}$ D、 $b = \frac{1}{10}$

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15、某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（       ）
32 21 18 34 29   78 64 54 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77   35 78 90 56 42
84 42 12 53 31   34 57 86 07 36   25 30 07 32 86   23 45 78 89 07   23 68 96 08 04
32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32   45 77 89 23 45

A、623 B、328 C、072 D、457

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16、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于 $y$ 轴的直线交C于A，B两点，若 $| F_{1} A | = 13, | A B | = 10$ ，则C的离心率为．

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17、已知 $\cos (α + β) = m, \tan α \tan β = 2$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- 3 m$ B、 $- \frac{m}{3}$ C、 $\frac{m}{3}$ D、 $3 m$

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18、已知集合 $A = \{x ∣ - 5 < x^{3} < 5\}, B = {- 3, - 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${- 3, - 1, 0}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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19、费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径 $M N$ 为6，且 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 2, 0)$ ．平行于 $x$ 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点 $(2, 0)$ 处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)、设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线 $C$ ，试判断 $C$ 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．

(2)、设曲线 $F$ 为解析式同 $C$ 的完整圆锥曲线，直线 $l$ 与 $F$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $H$ ，交 $x$ 轴于点 $Q$ （点 $Q$ 不与 $F$ 的顶点重合）．若 $\vec{H Q} = k_{1} \vec{Q A} = k_{2} \vec{Q B}$ ， $k_{1} + k_{2} = - \frac{8}{3}$ ，试求出点 $Q$ 所有可能的坐标．

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20、意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第 $n$ 个月的兔子对数为 $f_{n}$ ，则 $f_{1} = 1, f_{2} = 1, f_{3} = 2, f_{4} = 3, f_{5} = 5 \dots$ ，观察数列 $\{f_{n}\}$ 的规律，不难发现， $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n} (n \in N^{*})$ ，我们称该数列为斐波那契数列.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是斐波那契数列，求出 $a_{1} + a_{5}$ 和 $a_{2} + a_{6}$ 的值，并证明 $a_{n} + a_{n + 4} = 3 a_{n + 2}$ .

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是斐波那契数列，且 $b_{n} = a_{n + 1} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} a_{n}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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