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相关试卷

1、不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数 $X$ 的数学期望是（）

A、 $\frac{28}{5}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{36}{7}$ D、 $\frac{16}{3}$

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2、已知随机变量X的分布列如下：
X
2
3
6
P
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
a
则 $D (3 X + 2 ）$ 的值为（）

A、2 B、6 C、8 D、18

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3、将4本不同的书分配给8名同学，每名同学最多分到1本书，那么不同的分配方式共有（）

A、70种 B、256种 C、1680种 D、4096种

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4、若函数 $f (x)$ 可导， $f^{'} (1) = 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 2 Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5、 ${(\frac{\sqrt{3} + i}{2})}^{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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6、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $A = \{2, 3\}$ ， $B = \{1, 3, 5\}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2, 3, 4\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{1, 5\}$ D、 $\{1, 3, 4, 5\}$

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7、下列说法错误的是（）

A、若 $\frac{1}{a} < 1$ ，则 $a < 0$ 或 $a > 1$ B、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 C、若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $y = \sin^{2} α + \frac{2}{\sin^{2} α}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、函数 $y = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $[1, \sqrt{2}]$

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8、已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． ${b_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4, b_{3} - b_{2} = 48$ ．
（I）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}}, n \in N^{*}$ ，
（i）证明 ${c_{n}^{2} - c_{2 n}}$ 是等比数列；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k + 1}}{c_{k}^{2} - c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (n \in N^{*})$

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9、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点与抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点重合， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，过椭圆右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 3$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、已知直线 $l$ 斜率存在，若 $A B$ 是椭圆 $C$ 经过原点 $O$ 的弦，且 $A B // l$ ，求证： $\frac{{|A B|}^{2}}{|M N|}$ 为定值．

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x (m \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - \ln x + x^{2}$ 存在两个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P A = P C$ ， $P A ⊥ A B$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = A B = A C = 2$ ，点 $M$ 满足 $\vec{P B} = 3 \vec{P M}$ ，求二面角 $P - A C - M$ 的大小．

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12、袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．

(1)、求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；

(2)、记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则可设 $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ，由 $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2}$ 可知 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 的3个实数根，设 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ ，则 $- a (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ 为 $x^{2}$ 的系数， $a (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ 为 $x$ 的系数， $- a x_{1} x_{2} x_{3}$ 为常数项，于是有 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}$ ， $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ 实际上任意实系数 $n$ 次方程都有类似结论．设方程 ${(x - 1)}^{4} + {(x - 1)}^{3} - 7 {(x - 1)}^{2} + 5 = 0$ 的四个实数根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ ， $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} =$ ．

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14、在某次数学测试中，学生成绩 $X$ 服从正态分布 $N (100, δ^{2})$ .若 $P (80 \leq X \leq 120) = \frac{1}{2}$ ，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是.

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15、为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等4名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为．（用数字作答）．

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16、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E是棱 $D D_{1}$ 的中点，F是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上的动点，且满足 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列结论中正确的是（）

A、平面 $A_{1} B E$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面面积为 $\frac{9}{2}$ B、点F的轨迹长度为 $\frac{π}{4}$ C、存在点F，使得 $B_{1} F ⊥ C D_{1}$ D、平面 $A_{1} B E$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成二面角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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17、某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{2}{5}$ B、 $P (A B) = \frac{3}{5}$ C、 $P (B| \bar{A}) = \frac{3}{4}$ D、 $P (B| A) = \frac{1}{2}$

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18、过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为 $A$ ，直线 $F A$ 交直线 $b x - a y = 0$ 于点 $B$ ．若 $\vec{B A} = 3 \vec{A F}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{35}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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19、下列四个图象中，有一个图象是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + (a^{2} - 4) x + 8 (a \neq 0)$ 的导数的图象，则 $f (- 2)$ 的值为（）

A、 $\frac{17}{3}$ B、 $- \frac{17}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $- \frac{8}{3}$

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20、某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（）

A、0.16 B、0.32 C、0.42 D、0.84

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X	2	3	6
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	a