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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T = 2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5π}{12}, 0)$ 中心对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增

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2、已知数列{a_n}，a₁＝1，a_n－a_n_－₁＝n－1(n≥2)，则a₆＝（　　）

A、7 B、11 C、16 D、17

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3、直线 $l : 2 x - y = 0$ 与圆 $C :$ ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、相切 B、相离 C、相交且l过圆C的圆心 D、相交且l不过圆C的圆心

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4、欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + isin θ$ （e为自然对数的底数， $i$ 为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则 $e^{i π} =$ （）

A、-1 B、1 C、- $i$ D、 $i$

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5、在 ${(1 + 2 x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、8 B、10 C、80 D、160

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6、记正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{20} = 100$ ，则 $a_{10} \cdot a_{11}$ 的最大值为（）

A、9 B、16 C、25 D、50

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7、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = \sqrt{3} A A_{1}, D$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $C C_{1} D$ .

(2)、求异面直线 $B C_{1}$ 与 $C D$ 所成角的余弦值.

(3)、在 $C_{1} D$ 上是否存在点 $E$ ，使得平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ？若存在，求出 $\frac{C_{1} E}{E D}$ 的值；若不存在，说明理由.

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．已知 $b = 2$ ， $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3} sin C + cos C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $M$ 是 $△ A B C$ 内的一动点，且满足 $\vec{B M} = \vec{M A} + \vec{M C}$ ，则 $|\vec{B M}|$ 是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；

(3)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 中 $A C$ 上的一点，且满足 $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{B D}}{|\vec{B A}|} = \frac{\vec{B D} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|}$ ，求 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}}$ 的取值范围．

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9、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (3, - 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，且 $x \neq 0$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标；

(2)、若向量 $\vec{m} = (8, 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{m}$ ，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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10、为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位： $t$ ），将数据按照 $[4.5, 5.5)$ ， $[5.5, 6.5)$ ， $[6.5, 7.5)$ ， $[7.5, 8.5)$ ， $[8.5, 9.5)$ ， $[9.5, 10.5]$ 分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.

(1)、在这500个家庭中月均用水量在 $[7.5, 8.5)$ 内的家庭有多少户？

(2)、求 $a, b$ 的值；

(3)、估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

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11、若 $A B = 3$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C B}$ ，平面内一点P，满足 $\frac{\vec{P A} \cdot \vec{P C}}{|\vec{P A}|} = \frac{\vec{P B} \cdot \vec{P C}}{|\vec{P B}|}$ ， $\sin ∠ P A B$ 的最大值是．

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12、已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（）

A、该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B、该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C、该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万 D、该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万

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13、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）

A、一定存在实数x，y使得 $\vec{a} = x \vec{b} + y \vec{c}$ 成立 B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{b} = \vec{c}$ ，那么一定有 $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ C、若 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，那么 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c} |$ D、若 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$ ，那么 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 一定相互平行

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14、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4, E$ 在线段 $C D_{1}$ 上，则 $A E + B_{1} E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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15、人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， O为坐标原点，定义余弦相似度为 $\cos (A, B) = \cos ⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩$ ，余弦距离为 $1 - \cos (A, B)$ ．已知 $P (\cos α, \sin α)$ ， $Q (1, 0)$ ，若P，Q的余弦距离为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ ．则 $\sin (α - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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16、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{e}$ 是平面向量， $\vec{e}$ 是单位向量，若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 ${\vec{b}}^{2} - 6 \vec{b} \cdot \vec{e} + 8 = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{2} + 1$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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17、设 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）

A、 $2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 和 $2 \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{1}}$ C、 $\vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + 3 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$

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18、已知复数 $z = i (1 - i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $5$ D、 $\sqrt{5}$

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19、对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
$[10, 15)$
10
0.20
$[15, 20)$
24
n
$[20, 25)$
m
p
$[25, 30]$
2
0.04
合计
M
1

(1)、求出表中M，p及图中a的值；

(2)、若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 $[15, 20)$ 内的人数；

(3)、估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）

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20、有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为 $4 cm$ ，高为 $1 cm$ ，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为 ${cm}^{2}$ .

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分组	频数	频率
$[10, 15)$	10	0.20
$[15, 20)$	24	n
$[20, 25)$	m	p
$[25, 30]$	2	0.04
合计	M	1