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相关试卷

1、如图，游客从某旅游景区的景点 $A$ 处下上至 $C$ 处有两种路径．一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$ ，另一种是先从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$ ，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$ ．现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $A C$ 匀速步行，速度为 $50 m / \min$ ．在甲出发 $2 \min$ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$ ，在 $B$ 处停留 $1 \min$ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$ ，假设缆车匀速直线运动的速度为 $130 m / \min$ ，山路 $A C$ 长为1260 $m$ ，经测量 $\cos A = \frac{12}{13}$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ．
（1）求索道 $A B$ 的长；
（2）问：乙出发多少 $\min$ 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过 $3 \min$ ，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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2、在复平面内，点A，B对应的复数分别是 $2 + 3 i$ ， $1 + 2 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），设向量 $\vec{B A}$ 对应的复数为 $z$ .

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、求 $|z^{2} + z \cdot \bar{z}|$ ；

(3)、若 $z_{1} = m + i$ ，且 $\frac{z_{1}}{z}$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值.

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3、在边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是该正方体表面上一个动点，且 $B M$ $//$ 平面 $A D_{1} C$ ，则动点M的轨迹的长度是.

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4、下面有关三角形的命题正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，则 $∠ B = \frac{π}{3}$ B、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 2$ ， $a = \sqrt{2}$ .则这样的三角形有且只有一个 C、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ ，则最大内角是最小内角的2倍 D、在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $c = 4$ ， $\cos C = - \frac{1}{4}$ ，则 $A B$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$

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5、平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，则下列正确的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$ D、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| < |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

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6、 $△ A B C$ 中，已知 $(\frac{\overset{⃑}{A B}}{|\overset{⃑}{A B}|} + \frac{\overset{⃑}{A C}}{|\overset{⃑}{A C}|}) \cdot \overset{⃑}{B C} = 0$ ，且 $\frac{\overset{⃑}{A B}}{|\overset{⃑}{A B}|} \cdot \frac{\overset{⃑}{B C}}{|\overset{⃑}{B C}|} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 是

A、三边互不相等的三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、顶角为钝角的等腰三角形

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7、对于两条不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，以下结论中正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n ∥ β$ ， m、n是异面直线，则α、β相交 B、若m⊥α，m⊥β， $n ∥ α$ ，则 $n ∥ β$ C、 $m \subset α$ ， $n ∥ α$ ， m、n共面于β，则 $m ∥ n$ D、若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，则m、n为异面直线

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8、复数 $z = 1 - i (i$ 为虚数单位）的虚部为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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9、设函数 $f (x)$ 的定义域为D，若存在实数 $T (T > 0)$ ，使得对于任意 $x \in D$ ，都有 $f (x) < f (x + T)$ ，则称 $f (x)$ 为“T—单调增函数”．
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数” $f (x)$ 一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” $f (x)$ 一定是“ $n T$ —单调增函数” （其中 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ）：
③函数 $f (x) = [x]$ 是“T—单调增函数”（其中 $[x]$ 表示不大于x的最大整数）；
④函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \leq 0 \\ \lg x, x > 0 \end{matrix}$ 不是“T—单调增函数”．
其中，所有正确的结论序号是．

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10、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且 $B$ ， $C$ 为 $E$ 上不同两点（ $B$ ， $C$ 位于 $y$ 轴右侧）， $B$ ， $C$ 关于 $x$ 轴的对称点分别为为 $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，直线 $B A_{1}$ 、 $B_{1} A_{2}$ 相交于点 $P$ ，直线 $C A_{1}$ 、 $C_{1} A_{2}$ 相交于点 $Q$ ，已知点 $M (- 2, 0)$ ，则 $|\vec{P M}| + |\vec{Q M}| - |\vec{P Q}|$ 的最小值为．

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11、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，则称点 $N (\frac{x_{0}}{a}, \frac{y_{0}}{b})$ 为点 $M$ 的一个“椭点”.已知直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{2} x + m$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 两点的“椭点”分别为 $P, Q$ ，以线段 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ，则 $m$ 的值为．

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12、A， $B$ 两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中 $A$ 获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，若采用“五局三胜制”，则 $A$ 选手获胜的概率为.

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13、以下四个命题表述正确的是（）
①若点 $A (1, 2)$ ，圆的一般方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，则点A在圆上
②圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 的圆心到直线 $4 x - 3 y + 3 = 0$ 的距离为2
③圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 4 = 0$ 外切
④两圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 = 0$ 的公共弦所在的直线方程为 $x + 2 y + 6 = 0$

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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14、下列命题中正确的是（）

A、点 $M (3, 2, 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是 $(- 3, 2, - 1)$ B、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若 $\vec{O P} = m \vec{O A} - \frac{1}{2} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$ D、若直线l的方向向量与平面 $α$ 的法向量的夹角为 $120^{\circ}$ ，则直线l与平面 $α$ 所成的角为 $30^{\circ}$

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15、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 $0.8$ ，乙的中靶概率为 $0.9$ ，甲是否击中对乙没有影响，设 $A =$ “甲中靶”， $B =$ “乙中靶”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ ， $A$ 与 $\bar{B}$ ， $\bar{A}$ 与 $B$ ， $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 都相互独立 B、 $A \bar{B}$ 与 $B \bar{A}$ 是对立事件 C、 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.98$ D、 $P (A B \cup \bar{A} B \cup A \bar{B}) = 0.02$

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16、若 $F$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点，过原点的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\frac{1}{| F A |} - \frac{4}{| F B |}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{5}, \frac{1}{4}]$ B、 $[- \frac{1}{5}, \frac{1}{5}]$ C、 $(- \frac{1}{4}, 0]$ D、 $[- \frac{1}{4}, \frac{1}{5}]$

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17、已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 和双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的公切线 $P Q$ （ $P$ 是 $P Q$ 与抛物线的切点），与抛物线的准线交于 $Q$ ， $F$ 为抛物线的焦点，若 $|P Q| = \sqrt{2} |P F|$ ，则抛物线的方程是（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = 6 y$ C、 $x^{2} = 2 \sqrt{2} y$ D、 $x^{2} = 2 \sqrt{3} y$

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18、若直线l的方向向量是 $(1, \sin θ)$ ，则直线l的倾斜角 $α$ 的范围是（）

A、 $[0, π)$ B、 $[0, \frac{π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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19、向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{5}{6}, - \frac{5}{6}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{5}{6}, - \frac{5}{3}, \frac{5}{6})$ C、 $(2, - 2, 4)$ D、 $(2, - 4, 2)$

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20、在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， M，N分别为 $E E_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，平面CMN与直线 $D D_{1}$ 交于点G，则 $D_{1} G =$ ；点A到平面CMN的距离为．

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