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相关试卷

1、集合 $A = \{x |- 6 x^{2} - x + 2 > 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 \geq 0\}$ ．
（1）求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；
（2）若集合 $C = \{x |2 m < x < 1 - m\}$ ， $C \subseteq B$ ，求 $m$ 的取值范围．

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2、已知 $f (x) = (x^{2} + 2 x) (x^{2} + a x + b)$ ，若对一切实数 $x$ ，均有 $f (x) = f (2 - x)$ ，则 $f (3) =$ .

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 - |x - 2|, 1 \leq x \leq 3 \\ \frac{1}{2} f (x - 2), x > 3 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (6) = \frac{1}{4}$ B、关于 $x$ 的方程 $2^{n} f (x) = 1 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 3$ 个不同的解 C、 $f (x)$ 在 $[2 n, 2 n + 1] (n \in N^{*})$ 上单调递减 D、当 $x \in [1, + \infty)$ 时， $x f (x) \leq 2$ 恒成立.

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4、若 $a > b > 0$ 且 $c \neq 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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5、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (3) = 6$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > 2$ 的解集为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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6、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $\frac{2}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $1 + \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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7、给定数集 $A = R, B = (0, + \infty), x, y$ 满足方程 $x^{2} - y = 0$ ，下列对应关系 $f$ 为函数的是（）

A、 $f : A \to B, y = f (x)$ B、 $f : B \to A, y = f (x)$ C、 $f : A \to B, x = f (y)$ D、 $f : B \to A, x = f (y)$

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8、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = |x| + 1$

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9、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - x \leq 0$

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10、已知集合 $A = {x \in N | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {2, 4, 6}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ B、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 6}$

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11、对于函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + (b - 1)$ $(a \neq 0)$ .
（1）当 $a = 1$ ， $b = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的不动点；
（2）若对任意实数 $b$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个相异的不动点，求 $a$ 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 $f (x)$ 的两个不动点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + x_{2} = \frac{- a}{a + 1}$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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12、通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知： $f (t) = \{\begin{array}{l} - t^{2} + 24 t + 100, (0 < t ⩽ 10) \\ 240, (10 < t ⩽ 20) \\ - 7 t + 380, (20 < t ⩽ 40) \end{array}$ ．

(1)、讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(2)、讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(3)、一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

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13、已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、用定义法判定 $f (x)$ 的单调性；

(3)、求使 $f (a - 1) + f (a^{2} - 1) < 0$ 成立的实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知命题 $p : \forall x \in R, m x^{2} - m x + 1 > 0$ ；命题 $q : \exists x \in R, x^{2} + 4 m x + 1 < 0$ .

(1)、若命题 $q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p, q$ 中至少有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、已知当 $x \in [a, a + 1]$ 时，函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 的最大值为 $4$ ，则 $a$ 的值为

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16、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ，则 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ．

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17、已知实数 $a$ 、 $b \in R_{+}$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ B、 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b - 1}{a - 1} \in (0, 2)$

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18、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{matrix}$ ，称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (\sqrt{2}) = 1$ B、 $f (x)$ 的定义城为 $R$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (f (x)) = 1$ D、 $f (x)$ 为偶函数

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19、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in N$ ， 2x＋1为奇数 C、所有菱形的四条边都相等 D、 $π$ 是无理数

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20、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足，当 $0 < x \leq 2$ 时， $f (x) < 0$ ，当 $x > 2$ 时， $f (x) > 0$ . 不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$

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