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相关试卷

1、乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域 $A 、 B$ ，乙被划分为两个不相交的区域 $C 、 D$ ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为 $\frac{1}{2}$ ，在D上的概率为 $\frac{1}{3}$ ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在D上的概率为 $\frac{3}{5}$ . 假设共有两次来球且落在 $A 、 B$ 上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：

(1)、小明对落点在 $A 、 B$ 上的来球回球的得分为0分的概率；

(2)、小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

(3)、两次回球结束后，小明得分之和 $ξ$ 的所有可能取值及对应的概率.

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2、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 45 °, A D = A C = 1$ ， O为 $A C$ 的中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P O = 2$ ， M为 $P D$ 的中点．
（1）证明： $P B / /$ 平面 $A C M$ ；
（2）求直线 $A M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值．

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3、全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.

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4、某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
① $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ ； ② $\frac{- 4 + 3 i}{3 + 4 i}$ ； ③ $\frac{- 1 - i}{- 1 + i}$ （i是虚数单位）.

(1)、从三个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)、根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．

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5、已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上， $P B = P C = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ， $A C = 4$ ， $P A = B C = 2$ ，则球O的表面积为．

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6、已知复数 $z = (2 + a i) (1 + i^{3}) (a \in R)$ 为纯虚数，则 $|z + 3| + \bar{z} =$ ．

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7、在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是．

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8、如图所示，为了测量 $A, B$ 两岛的距离，小明在D处观测， $A, B$ 分别在D处的北偏西 $15^{\circ}$ 、北偏东 $45^{\circ}$ 方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西 $60^{\circ}$ 方向，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ C A D = 45 °$ B、 $A, D$ 之间的距离为 $15 \sqrt{2}$ 海里 C、 $B, D$ 之间的距离为 $30 \sqrt{3}$ 海里 D、 $A, B$ 两岛间的距离为 $15 \sqrt{6}$ 海里

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9、某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（）

A、 $a = 0.008$ B、 $X = 120$ C、70分以下的人数约为6人 D、本次考试的平均分约为93.6

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10、随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件 $A =$ “甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件 $B =$ “甲乙两人所选课程完全不同”，事件 $C =$ “甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（）

A、A与B为对立事件 B、A与C互斥 C、A与C相互独立 D、B与C相互独立

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11、对于两个平面 $α, β$ 和两条直线 $m, n$ ，下列命题中真命题是

A、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / α, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m / / α, n / / β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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12、甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{9}$

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13、已知边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ，则 $\overset{⇀}{B E} \cdot \overset{⇀}{E A} =$

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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14、某学校有高中学生3 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 050，1 000，950．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（）

A、195 B、105 C、100 D、95

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15、在复平面内，复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，点D在边 $A B$ 上， $B D = 2 ，$ 且 $D A = D C .$

(1)、若 $△ B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求边 $C D$ 的长；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $∠ D C A$ .

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17、如图， $A B$ 为半球 $M$ 的直径，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点，P为半球面上一点，且 $A C ⊥ P C$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ P C$ ；

(2)、若 $A C = A M = 2$ ， $P B = \sqrt{6}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} sin \frac{x}{2} cos(\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) + 1, g (x) = sin 2 x$ .

(1)、解不等式 $f (x) \geq 1$ ；

(2)、若 $m f (x) \leq g (x)$ 对任意的 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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19、已知平面向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 1$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 2$ ， $(\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}) \cdot (2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) = - 3$ .
（1）求 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ；
（2）若向量 $\overset{⃑}{b}$ 与 $λ \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20、记一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $1.6$ ，方差为 $1.44$ ，则数据 $x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, \dots, x_{n}^{2}$ 的平均数为.

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