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相关试卷

1、 $P, Q$ 分别是抛物线 $x^{2} = 2 y$ 和 $x$ 轴上的动点， $M (2, - 1)$ ，则 $|P M| + |P Q|$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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2、从 9 名同学中选出 4 人去参加环保活动，若甲、乙两名同学至少有 1 名位参加，则选派方案共有（）

A、56 种 B、70 种 C、91 种 D、126 种

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3、已知 $a ， b ， c$ 均为不等于 1 的正实数，若 $a^{3} = b^{2} ， b^{3} = c^{2}$ ，则 ${log}_{c} (a b) =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{10}{9}$

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为非零向量，则 “ $\vec{b} = \vec{c}$ ” 是 “ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、若复数 $z$ 满足 $i (2 - z) = 1$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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6、集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\} ， B = \{x \in Z ∣ x^{2} \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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7、平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则 $P (A) = \frac{区域 M 的面积}{区域 N 的面积}$ ．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率 $f_{n} (A)$ 逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率 $f_{n} (A)$ 估计概率 $P (A)$ ．

(1)、为了估算曲线 $y = \sin x (x \in [0, π])$ 与x轴围成的区域M的面积，记点集 $\{(x, y) | 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq 1\}$ 表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（ $π \approx 3.14$ ，结果保留一位小数）

(2)、1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为 $x (0 < x < π)$ ，如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时， $x = 0$ ．
（ⅰ）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ⅱ）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点 $(x, y)$ ，利用（1）的结论，求圆周率 $π$ 的近似值（用m，n表示）．

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8、已知函数 $f (x) = a^{x} - {(\frac{1}{a})}^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性（不需证明）；

(2)、若 $a = 2$ ，
（ⅰ）解不等式 $f (x) \leq \frac{3}{2 x}$ ；
（ⅱ）若 $g (x) = 2^{2 x + 1} - f (2 x) + 2 t f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值为 $- \frac{7}{4}$ ，求 $t$ 的值．

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9、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 的中点， $A B = B C = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $B D_{1} //$ 平面 $E D C_{1}$ ；

(2)、设平面 $α //$ 平面 $E D C_{1}$ ，且 $B \in α$ ，在图中作出 $α$ 与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积．

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10、为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．

(1)、估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．

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11、设锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} b = 2 a \sin B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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12、已知 $A (1, 2)$ ， $B (1 + \sqrt{3}, 3)$ ， $\vec{A B}$ 绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{6}$ 得到 $\vec{A P}$ ，则点P的坐标为；一般地， $\vec{A B}$ 绕A逆时针旋转 $θ$ 得到 $\vec{A Q}$ ，则 $\vec{A Q}$ 的坐标为．

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13、设函数 $f (x) = \ln (|x| + 1)$ ， $g (x) = - x^{2} + a$ ，若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 有两个交点，则实数a的取值范围是．

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14、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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15、函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{3}) + \frac{1}{2}$ ， $x \in (t, t + \frac{π}{2})$ ， $t \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 为单调函数 B、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 有三个零点 C、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 有最大值 $\frac{5}{2}$ D、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 的值域为 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

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16、掷一枚质地均匀的骰子两次，设 $A =$ “第一次骰子点数为奇数”， $B =$ “第二次骰子点数为偶数”， $C =$ “两次骰子点数之和为奇数”， $D =$ “两次骰子点数之和为偶数”，则（）

A、C与D互为对立事件 B、A与D相互独立 C、 $P (A C) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B \cup D) = \frac{1}{2}$

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17、在复数范围内，方程 $x^{2} + x + 2 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = - i$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 1$ C、 $|x_{1}| = |x_{2}| = 2$ D、 $|x_{1}| = |x_{2}| = \sqrt{2}$

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18、某班同学身高的平均数为 $\bar{z}$ ，方差为 $S^{2}$ ，其中女生身高 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $S_{1}^{2}$ ，男生身高 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $S_{2}^{2}$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $\bar{x} < \bar{y}$ ，则 $\bar{x} < \bar{z} < \bar{y}$ B、若 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$ ，则 $S_{1}^{2} < S^{2} < S_{2}^{2}$ C、若 $m = n$ ，则 $\bar{z} = \frac{1}{2} (\bar{x} + \bar{y})$ D、若 $\bar{x} = \bar{y}$ ，则 $S^{2} = \frac{m S_{1}^{2} + n S_{2}^{2}}{m + n}$

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19、点P是以 $A B$ 为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则 $x + y + x y$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + 3 \sqrt{2}$

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20、已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为 $15 \sqrt{2} π$ ，则该圆台的体积等于（）

A、 $7 π$ B、 $21 π$ C、 $63 π$ D、 $21 \sqrt{7} π$

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